Suponha que alpha seja uma cota superior para o conjunto A e que alpha in A. Mostre que alpha=sup A.

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto AsubseteqR e um número alpha tal que
1. alphain A.
2. alpha é uma cota superior de A, ou seja, forall xin A:,x<=alpha.
O conteúdo é a definição de supremo: sup A é a menor cota superior de A. Para mostrar alpha=sup A precisamos provar que alpha é cota superior e que não existe cota superior menor que alpha.

Passo 2

Já sabemos por hipótese que alpha é cota superior de A. Portanto a primeira condição para ser supremo está satisfeita.

Passo 3

Seja beta qualquer cota superior de A. Então
forall xin A:;x<=beta
Em particular, como alphain A, temos alpha<=beta.

Passo 4

Mostramos que toda cota superior beta satisfaz alpha<=beta. Isso significa que alpha é a menor das cotas superiores de A. Pela definição de supremo, concluímos
alpha = sup A

Resposta

alpha = sup A.

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