Suponha que
seja uma cota superior para o conjunto
e que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um conjunto
e um número
tal que
.
.
.
é uma cota superior de
, ou seja,
.
O conteúdo é a definição de supremo: é a menor cota superior de
. Para mostrar
precisamos provar que
é cota superior e que não existe cota superior menor que
.
O conteúdo é a definição de supremo:
Passo 2
Já sabemos por hipótese que
é cota superior de
. Portanto a primeira condição para ser supremo está satisfeita.
Passo 3
Seja
qualquer cota superior de
. Então
Em particular, como
, temos
.
Passo 4
Mostramos que toda cota superior
satisfaz
. Isso significa que
é a menor das cotas superiores de
. Pela definição de supremo, concluímos