Considere uma função diferenciável y=f(x) definida implicitamente por
x+cos yy=1
O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( 1, pi2 ) é
a) -2pi
b) -pi^24
c) pi^24
d) 2pi
e) 1

Passo 1

O enunciado define implicitamente y = f(x) pela equação x + \frac{\cos y}{y} = 1 e pede o coeficiente angular y' = dydx da reta tangente no ponto (1,tfracpi2). Vamos usar derivação implícita.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(x + cos yyr) = ddx(1)
Em detalhes,
ddx(x) + ddxl(cos yyr) = 0

Passo 3

Sabemos que ddx(x)=1. Para ddx(cos y / y) usamos a regra do quociente com u=cos y e v=y:
$$
u’ = -\sin y,y’,\quad v’ = y’,$$
u' = -sin y,y', v' = y',

Passo 4

Então a equação da derivada implícita fica
1 , - , y'ysin y + cos yy^2 = 0

Passo 5

Isolando y':
y'ysin y + cos yy^2 = 1

Passo 6

y' = y^2ysin y + cos y

Passo 7

Agora avaliamos em y=tfracpi2: temos sin(pi/2)=1 e cos(pi/2)=0, então
y'l(1,tfracpi2r) = (pi2)^2(pi2)cdot1 + 0 = pi^24pi2 = pi2

Passo 8

O coeficiente encontrado é pi/2, que não coincide com nenhuma das opções fornecidas.

Resposta

Não há alternativa correta entre as opções dadas; o coeficiente angular é pi/2, valor não listado.

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