Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral1^infty x raizx+sen xx^3+5 ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria integral1^inftyxraizx+sin xx^3+5ln x,dx, verificar se converge e, em caso afirmativo, se é absolutamente convergente. Para decidir, vamos analisar o comportamento da função integranda em cada extremidade do intervalo e comparar com funções mais simples.

Passo 2

Primeiro, examinamos o comportamento em x=1. Nesse ponto o denominador vale 1^3+5ln1=1+0=1 e o numerador é finito ( 1cdot1+sin1 é finito). Logo não há singularidade em x=1.

Passo 3

Depois, estudamos o limite quando xtoinfty. Note que para x grande
xraizx+sin x= x^3/2+O(1) e x^3+5ln x= x^3+o(x^3)
Isto dá
xraizx+sin xx^3+5ln xsimx^3/2x^3=x^-3/2

Passo 4

Como a integral integral1^inftyx^-3/2,dx converge (é um caso-padrão com expoente maior que 1), concluímos por comparação que
integral1^inftyxraizx+sin xx^3+5ln x,dx
converge.

Passo 5

Para a convergência absoluta, considemos
l|xraizx+sin xx^3+5ln xr|<=x^3/2+|sin x|x^3-5|ln x|<= Cl(x^-3/2+x^-3r)(para x grande)
Como tanto integral1^inftyx^-3/2,dx quanto integral1^inftyx^-3,dx convergem, a integral dada também converge absolutamente.

Passo 6

Não existe primitiva elementar conhecida para essa integral, então seu valor exato fica expresso na própria forma de integral imprópria.

Resposta

A integral converge e, de fato, converge absolutamente. Não há primitiva elementar, de modo que seu valor permanece dado por integral1^inftyxraizx+sin xx^3+5ln x,dx.

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