Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria, verificar se converge e, em caso afirmativo, se é absolutamente convergente. Para decidir, vamos analisar o comportamento da função integranda em cada extremidade do intervalo e comparar com funções mais simples.
Passo 2
Primeiro, examinamos o comportamento em . Nesse ponto o denominador vale e o numerador é finito ( é finito). Logo não há singularidade em .
Passo 3
Depois, estudamos o limite quando . Note que para grande
Isto dá
Passo 4
Como a integral converge (é um caso-padrão com expoente maior que 1), concluímos por comparação que
converge.
Passo 5
Para a convergência absoluta, considemos
Como tanto integral1^inftyx^-3/2,dx quanto integral1^inftyx^-3,dx convergem, a integral dada também converge absolutamente.
Passo 6
Não existe primitiva elementar conhecida para essa integral, então seu valor exato fica expresso na própria forma de integral imprópria.
Resposta
A integral converge e, de fato, converge absolutamente. Não há primitiva elementar, de modo que seu valor permanece dado por integral1^inftyxraizx+sin xx^3+5ln x,dx.