Considere a função diferenciável
definida pela regra
. Suponha que a curva de nível
defina implicitament5e
como uma função de
. Mostre que o coeficiente angular da tangente à curva de nível referida é dado pela fórmula:
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável
dada por
e que a curva de nível
define implicitamente
como função de
. Queremos encontrar o coeficiente angular da tangente a essa curva, isto é,
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia na condição
.
Passo 2
Defina
. Como
é constante, temos
Pela Regra da Cadeia em duas variáveis,
Passo 3
Sabendo que
e definindo
, a equação do passo anterior fica
Isolando
obtemos
sempre que
(condição garantida pelo Teorema da Função Implícita).