Considere a função diferenciável f definida pela regra z=f(x, y). Suponha que a curva de nível f(x, y)=k defina implicitament5e y como uma função de x. Mostre que o coeficiente angular da tangente à curva de nível referida é dado pela fórmula:
\frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por z=f(x,y) e que a curva de nível
f(x,y)=k
define implicitamente y como função de x. Queremos encontrar o coeficiente angular da tangente a essa curva, isto é, \dfrac{dy}{dx}. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia na condição f\bigl(x,y(x)\bigr)=k.

Passo 2

Defina h(x)=f\bigl(x,y(x)\bigr). Como h(x)\equiv k é constante, temos
\frac{d}{dx}\,h(x)=\frac{d}{dx}\,k=0.
Pela Regra da Cadeia em duas variáveis,
\frac{d}{dx}\,f\bigl(x,y(x)\bigr) =f_x\bigl(x,y(x)\bigr)\,\frac{dx}{dx} +f_y\bigl(x,y(x)\bigr)\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Sabendo que \frac{dx}{dx}=1 e definindo y'=\frac{dy}{dx}, a equação do passo anterior fica
f_x(x,y)+f_y(x,y)\,y'=0.
Isolando y' obtemos
y'=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)},
sempre que f_y(x,y)\neq 0 (condição garantida pelo Teorema da Função Implícita).

Resposta

\frac{dy}{dx} \;=\; -\,\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}.

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