Teste a convergência ou divergência das séries. Recomendação: Leitura da sec. 11.7 (Cálculo - Vol. 2 - Stewart, vide arquivo pdf no classroom)
\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{2}-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{2}-1)^{n}.
O conteúdo envolvido é série geométrica, cujo critério de convergência e fórmula da soma são bem diretos.

Passo 2

Reconhecemos que os termos gerais têm a forma de uma série geométrica com razão
r = \sqrt{2}-1
e primeiro termo
a = (\sqrt{2}-1)^{1} = r.

Passo 3

Lembrando que uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^n converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1.
Como
\sqrt{2}\approx1,414\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2}-1\approx0,414,
temos \lvert\sqrt{2}-1\rvert<1. Logo, a série converge.

Passo 4

Para séries geométricas com \lvert r\rvert<1 vale a fórmula
\sum_{n=1}^{\infty}r^n = \frac{r}{1-r}.
Aqui r=\sqrt{2}-1, então
\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{2}-1)^{n} = \frac{\sqrt{2}-1}{1 - (\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

A série converge (pois é geométrica com \lvert r\rvert<1) e sua soma é
\frac{\sqrt{2}}{2}.

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