Teste a convergência ou divergência das séries. Recomendação: Leitura da sec. 11.7 (Cálculo - Vol. 2 - Stewart, vide arquivo pdf no classroom)
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln n}.
O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, vamos verificar a convergência absoluta usando o teste da integral.

Passo 2

Verificamos primeiro se os termos gerais em valor absoluto tendem a zero. Seja
a_n = \frac{1}{n \ln n}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n \ln n} = 0,
pois n\ln n\to\infty. Assim, a condição \lim a_n=0 do teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 3

Agora mostramos que (a_n) é decrescente para n\ge2. Considere a função contínua
f(x)=\frac{1}{x\ln x},\quad x>1.
Derivando,
f'(x) = -\frac{\ln x + 1}{x^2(\ln x)^2}.
Como \ln x+1>0 para x>1, segue f'(x)<0. Logo, f é decrescente em (1,\infty) e, portanto, a_{n+1}<a_n para todo n\ge2.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz, uma série alternante \sum(-1)^{n+1}a_n converge se a_n\to0 e (a_n) for decrescente. Concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln n}
converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n \ln n}\right| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}.
Aplicando o teste da integral:
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x} = \Bigl[\ln(\ln x)\Bigr]_{2}^{\infty} = \lim_{t\to\infty}\ln(\ln t) - \ln(\ln 2) = \infty.
Portanto, \sum 1/(n\ln n) diverge, e a série original não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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