Como sabemos, para qualquer k \in \mathbb{R}, os pontos (x, y), com os quais f(x, y)=k, formam uma curva no plano x 0 y que se diz ser a curva de nível de f. Nos itens abaixo, encontre a equação da curva de nível f(x, y)=k que passa pelo ponto dado:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+1 ;(2,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+1
e pede a curva de nível
f(x,y)=k
que passa pelo ponto (2,0). Para resolver precisamos usar a definição de curva de nível e depois ajustar k para que o ponto pertença a ela.

Passo 2

A curva de nível geral de f é dada por
f(x,y)=k
ou seja
x^{2}+y^{2}+1=k.

Passo 3

Para encontrar k, substituímos o ponto (2,0) em f:
k=f(2,0)=2^{2}+0^{2}+1=4+1=5.

Passo 4

Substituindo k=5 na equação da curva de nível obtemos
x^{2}+y^{2}+1=5 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=4.

Resposta

A curva de nível de f que passa por (2,0) é
x^{2}+y^{2}=4.

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