f é diferenciável na origem? f é contínua em (0,0) ? (Justifique!)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar uma função f(x, y) definida de um jeito específico, e queremos descobrir duas coisas: se essa função é contínua na origem (0,0) e se ela é diferenciável nesse ponto. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre limites, continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função f é contínua em (0,0). A continuidade nesse ponto significa que o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que aqui é f(0,0) = 0 .
Passo 3
Para calcular o limite lim(x, y) to (0,0) f(x, y), uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Nessa mudança, a gente define x = r cos theta e y = r sin theta , onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo.
Substituindo na função:
f(x, y) = (r cos theta)^2 (r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^2 = r^2 cos^2 theta sin^2 theta
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite quando r to 0 :
limr to 0 r^2 cos^2 theta sin^2 theta = 0
Isso porque r^2 tende a zero e o restante da expressão está limitado (já que cos^2 theta sin^2 theta está sempre entre 0 e 1). Então, o limite da função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0.
Passo 5
Como o limite da função quando (x, y) to (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto ( f(0,0) = 0 ), concluímos que f é contínua na origem.
Passo 6
Agora, vamos verificar se f é diferenciável na origem. Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais de f existem em (0,0) e se a função pode ser aproximada linearmente nesse ponto.
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0).
Passo 7
A derivada parcial de f em relação a x em (0,0) é dada por:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
De forma semelhante, a derivada parcial em relação a y é:
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0
Então, temos fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0 .
Passo 8
Para verificar a diferenciabilidade, precisamos mostrar que: