Considere a função
f(x, y)=ll x^2 y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
f é diferenciável na origem? f é contínua em (0,0) ? (Justifique!)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar uma função f(x, y) definida de um jeito específico, e queremos descobrir duas coisas: se essa função é contínua na origem (0,0) e se ela é diferenciável nesse ponto. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre limites, continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f é contínua em (0,0). A continuidade nesse ponto significa que o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que aqui é f(0,0) = 0 .

Passo 3

Para calcular o limite lim(x, y) to (0,0) f(x, y), uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Nessa mudança, a gente define x = r cos theta e y = r sin theta , onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo.
Substituindo na função:
f(x, y) = (r cos theta)^2 (r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^2 = r^2 cos^2 theta sin^2 theta

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando r to 0 :
limr to 0 r^2 cos^2 theta sin^2 theta = 0
Isso porque r^2 tende a zero e o restante da expressão está limitado (já que cos^2 theta sin^2 theta está sempre entre 0 e 1). Então, o limite da função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0.

Passo 5

Como o limite da função quando (x, y) to (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto ( f(0,0) = 0 ), concluímos que f é contínua na origem.

Passo 6

Agora, vamos verificar se f é diferenciável na origem. Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais de f existem em (0,0) e se a função pode ser aproximada linearmente nesse ponto.
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0).

Passo 7

A derivada parcial de f em relação a x em (0,0) é dada por:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
De forma semelhante, a derivada parcial em relação a y é:
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0
Então, temos fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0 .

Passo 8

Para verificar a diferenciabilidade, precisamos mostrar que:
lim(h, k) to (0,0) f(h, k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2 + k^2 = 0
Substituindo os valores que já encontramos:
lim(h, k) to (0,0) f(h, k)raizh^2 + k^2 = limr to 0 r^2 cos^2 theta sin^2 thetar = limr to 0 r cos^2 theta sin^2 theta = 0
Isso porque r tende a zero e cos^2 theta sin^2 theta está limitado.

Resposta

Sim, a função f é contínua em (0,0) e também é diferenciável na origem.

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