Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=e^-x y cos y, (pi / 2,0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=e^-x ycos y
é diferenciável no ponto l(pi/2,0r) e em seguida encontrar sua linearização L(x,y) nesse ponto. Isso envolve usar o fato de que composições e produtos de funções elementares são diferenciáveis, calcular as derivadas parciais, avaliá-las no ponto e montar
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b)

Passo 2

Como e^-xy e cos y são funções elementares (logo diferenciáveis em todo R^2) e f é produto delas, segue que f tem derivadas parciais contínuas em R^2. Assim, f é diferenciável em particular em l(pi/2,0r).

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x. Usando regra do produto e ddxe^-xy=-y,e^-xy, temos
partial fpartial x(x,y) =-y,e^-xycos y

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a y. Pela regra do produto e ddye^-xy=-x,e^-xy, ddycos y=-sin y, obtemos
partial fpartial y(x,y) =-x,e^-xycos y;-;e^-xysin y =-e^-xyl(xcos y+sin yr)

Passo 5

Avaliaremos tudo em l(a,br)=l(pi/2,0r):
fl(tfracpi2,0r) =e^- (pi/2)cdot 0cos0 =1cdot 1 =1,
fxl(tfracpi2,0r) =-0;e^0cos0 =0,
fyl(tfracpi2,0r) =-e^0l(tfracpi2cos0+sin0r) =-l(tfracpi2cdot1+0r) =-tfracpi2

Passo 6

Substituindo na fórmula da linearização
L(x,y) =1 + 0,(x-tfracpi2) + l(-tfracpi2r)(y-0) =1 - tfracpi2,y

Resposta

L(x,y)=1-pi2,y

Exercícios relacionados