Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto
e em seguida encontrar sua linearização
nesse ponto. Isso envolve usar o fato de que composições e produtos de funções elementares são diferenciáveis, calcular as derivadas parciais, avaliá-las no ponto e montar
Passo 2
Como
e
são funções elementares (logo diferenciáveis em todo
) e
é produto delas, segue que
tem derivadas parciais contínuas em
. Assim,
é diferenciável em particular em
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando regra do produto e
, temos
Passo 4
Agora a derivada parcial em relação a
. Pela regra do produto e
,
, obtemos
Passo 5
Avaliaremos tudo em
:
Passo 6
Substituindo na fórmula da linearização