Suponha que você precise saber uma equação do plano tangente à superfície S no ponto P(2,1,3). Você não tem uma equação para S, mas sabe que as curvas
r1(t) & =lang<= 2+3 t, 1-t^2, 3-4 t+t^2rang<= r2(u) & =lang<= 1+u^2, 2 u^3-1,2 u+1rang<=
ambas estão em S. Encontre uma equação para o plano tangente em P.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície S no ponto P(2,1,3). Como não temos a equação de S, mas sabemos que as curvas
r1(t)=lang<= 2+3t,;1-t^2,;3-4t+t^2rang<=
e
r2(u)=lang<= 1+u^2,;2u^3-1,;2u+1rang<=
estão em S, podemos usar suas derivadas no ponto para obter dois vetores tangentes a S em P. A seguir encontraremos esses vetores e depois o vetor normal via produto vetorial.

Passo 2

Encontrar os parâmetros t0 e u0 tais que r1(t0)=P e r2(u0)=P.
Para r1 resolvemos
2+3t=2, 1-t^2=1, 3-4t+t^2=3,
que dá t=0.
Para r2 resolvemos
1+u^2=2, 2u^3-1=1, 2u+1=3,
que dá u=pm1, mas apenas u=1 satisfaz todas as coordenadas. Logo t0=0 e u0=1.

Passo 3

Calcular as derivadas das curvas nesses parâmetros para obter vetores tangentes:
r1'(t)=lang<= 3,;-2t,;-4+2trang<= Longrightarrow r1'(0)=lang<= 3,,0,,-4rang<=,
r2'(u)=lang<= 2u,;6u^2,;2rang<= Longrightarrow r2'(1)=lang<= 2,,6,,2rang<=
Chamemos esses vetores de
v1=lang<= 3,0,-4rang<=
e
v2=lang<= 2,6,2rang<=.

Passo 4

Obter o vetor normal ao plano tangente como
n = v1times v2 = i & j & k 3 & 0 & -4 2 & 6 & 2 = lang<= 0cdot2 -(-4)cdot6,;-l(3cdot2 -(-4)cdot2r),;3cdot6 -0cdot2rang<= = lang<= 24,,-14,,18rang<=
Podemos dividir por 2 para simplificar:
n = lang<= 12,,-7,,9rang<=

Passo 5

Escrever a equação do plano usando n=(12,-7,9) e o ponto P(2,1,3):
12(x-2)-7(y-1)+9(z-3)=0
Expandindo e recolhendo termos:
12x -24 -7y +7 +9z -27 = 0 Longrightarrow 12x -7y +9z -44 = 0

Resposta

A equação do plano tangente em P(2,1,3) é
12x - 7y + 9z - 44 = 0

Exercícios relacionados