Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=x^{2}+3 x y+4 y^{2}-6 x+2 y .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+3xy+4y^{2}-6x+2y.
O conteúdo é cálculo de extremantes para funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver o sistema \nabla f=0 e usar a matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y-6, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=3x+8y+2.
Igualando a zero obtemos o sistema linear
\begin{cases} 2x+3y-6=0,\\\\ 3x+8y+2=0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos 2x=6-3y\), mas é mais direto resolver por eliminação. Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 2: \[\begin{cases} 6x+9y-18=0,\\\\ 6x+16y+4=0. \end{cases}
Subtraindo termos, -7y-22=0\] dá \[y=-\tfrac{22}{7}.\] Voltando em \(2x+3y-6=0:
2x+3\bigl(-\tfrac{22}{7}\bigr)-6=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x=\tfrac{108}{7} \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{54}{7}.
Logo há um único ponto crítico \bigl(\tfrac{54}{7},-\tfrac{22}{7}\bigr).

Passo 3

A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy}\\[6pt] f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&3\\\\ 3&8 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante
D = 2\cdot8 - 3\cdot3 = 16 -9 =7 >0,
e o principal menor f_{xx}=2>0. Como D>0 e f_{xx}>0, a Hessiana é positiva definida, indicando que o ponto crítico é um mínimo local (e, por ser uma forma quadrática definida positiva, é também o mínimo global).]

Resposta

O único ponto crítico é \bigl(\tfrac{54}{7},-\tfrac{22}{7}\bigr), que é um ponto de mínimo.

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