Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=x^{2}+3 x y+4 y^{2}-6 x+2 y .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+3xy+4y^{2}-6x+2y.
O conteúdo é cálculo de extremantes para funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver o sistema \nabla f=0 e usar a matriz Hessiana para classificar.
Da primeira equação isolamos 2x=6-3y\), mas é mais direto resolver por eliminação. Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 2:
\[\begin{cases} 6x+9y-18=0,\\\\ 6x+16y+4=0. \end{cases}
Subtraindo termos, -7y-22=0\] dá
\[y=-\tfrac{22}{7}.\]
Voltando em \(2x+3y-6=0:
e o principal menor f_{xx}=2>0. Como D>0 e f_{xx}>0, a Hessiana é positiva definida, indicando que o ponto crítico é um mínimo local (e, por ser uma forma quadrática definida positiva, é também o mínimo global).]
Resposta
O único ponto crítico é \bigl(\tfrac{54}{7},-\tfrac{22}{7}\bigr), que é um ponto de mínimo.