Considere a função
f(x)=x^2x^2-1
Encontre os pontos de interseção com os eixos coordenados e as assíntotas, caso existam.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
f(x) = x^2x^2 - 1
Precisamos encontrar:
  1. Os pontos onde a função cruza os eixos coordenados.
  2. As assíntotas da função, se existirem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções racionais, entender como encontrar interseções com os eixos e identificar assíntotas verticais e horizontais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo y. Isso acontece quando x = 0 . Substituindo na função:
f(0) = 0^20^2 - 1 = 0-1 = 0
Então, o ponto de interseção com o eixo y é (0, 0) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com o eixo x. Para isso, precisamos resolver f(x) = 0 :
x^2x^2 - 1 = 0
Uma fração é igual a zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero. Então:
x^2 = 0 implies x = 0
Portanto, o único ponto de interseção com o eixo x também é (0, 0) .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais, que aparecem onde o denominador é zero (desde que o numerador não seja zero naquele ponto):
x^2 - 1 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm 1
Então, temos assíntotas verticais em x = 1 e x = -1 .

Passo 5

Por último, vamos verificar se há assíntotas horizontais. Observamos o comportamento da função quando x tende ao infinito. Como os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais:
y = 11 = 1

Resposta

  • Interseção com o eixo y: (0, 0) .
  • Interseção com o eixo x: (0, 0) .
  • Assíntotas verticais: x = 1 e x = -1 .
  • Assíntota horizontal: y = 1 .

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