Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o sólido cujo volume é dado por
O tema é geometria de regiões em coordenadas cartesianas e interpretação de limites de integração como superfícies que limitam o sólido.
Passo 2
Identificamos a projeção do sólido no plano
. Os limites
descrevem o disco de raio
centrado na origem:
Passo 3
Para cada ponto
no disco,
varia de
(até o plano
)
até
até
(plano inclinado paralelo à direção
).
Passo 4
Em
D, o sólido é o cilindro vertical de base o disco
, “cortado” por cima pelo plano oblíquo
.
- Na “frente” do cilindro (onde
), o plano atinge . - Na “traseira” (onde
), o topo coincide com .
Passo 5
Esboço do sólido (vista em perspectiva):
. Desenhe os eixos
,
,
, com
para cima.
. No plano
, trace a circunferência de raio
.
. Eleve verticalmente linhas do contorno dessa circunferência até uma altura variável dada por
.
. Sobre o cilindro assim formado, desenhe o plano inclinado que intersepta o contorno numar curva elíptica (projeção oblíqua da circunferência).
. Sombreie o volume entre o plano
(base) e o plano
(topo).
Resposta
O sólido é o cilindro de base o disco
, limitado abaixo por
e acima pelo plano oblíquo
. A figura mostra o cilindro “fatiado” obliquamente:
onde a base é o círculo no plano
.