Considere a função
Encontre os valores máximo e mínimo locais de
, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde usamos derivadas para identificar esses pontos especiais na curva da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os máximos e mínimos locais de uma função, a gente precisa encontrar os pontos críticos. Ponto crítico é onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Dada:
A derivada de
em relação a
é:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
que tornam a derivada igual a zero. Esses valores são os nossos pontos críticos.
Vamos resolver essa equação:
Portanto, os valores de
são:
Passo 5
Para saber se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada da função.
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Resposta
A função
possui um máximo local em
e um mínimo local em
.