Considere a função
f(x)=5-3 x^2+x^3
Encontre os valores máximo e mínimo locais de f, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x) = 5 - 3x^2 + x^3 e precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde usamos derivadas para identificar esses pontos especiais na curva da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os máximos e mínimos locais de uma função, a gente precisa encontrar os pontos críticos. Ponto crítico é onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Dada:
f(x) = 5 - 3x^2 + x^3
A derivada de f(x) em relação a x é:
f'(x) = ddx(5) - ddx(3x^2) + ddx(x^3) = 0 - 6x + 3x^2
Então:
f'(x) = 3x^2 - 6x

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de x que tornam a derivada igual a zero. Esses valores são os nossos pontos críticos.
3x^2 - 6x = 0
Vamos resolver essa equação:
3x(x - 2) = 0
Portanto, os valores de x são:
x = 0 ou x = 2

Passo 5

Para saber se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada da função.
A primeira derivada é:
f'(x) = 3x^2 - 6x
A segunda derivada é:
f''(x) = ddx(3x^2) - ddx(6x) = 6x - 6
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Para x = 0 :
f''(0) = 6(0) - 6 = -6
Como f''(0) < 0 , isso indica que x = 0 é um ponto de máximo local.
  1. Para x = 2 :
f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6
Como f''(2) > 0 , isso indica que x = 2 é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função f(x) = 5 - 3x^2 + x^3 possui um máximo local em x = 0 e um mínimo local em x = 2 .

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