Encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x 0 tg(4 x)sen(5 x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de tan(4x)sin(5x) quando x se aproxima de 0. Isso está dentro do conteúdo de limites em cálculo, e para resolver, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de 0 e, se necessário, aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 0. Sabemos que tan(4x) e sin(5x) também se aproximam de 0 nessa situação, porque tanto a tangente quanto o seno de um ângulo pequeno são próximos desse ângulo em radianos.

Passo 3

Quando temos um limite da forma 00, como é o caso aqui, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se o limite de f(x)g(x) dá uma forma indeterminada 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • A derivada de tan(4x) em relação a x é 4sec^2(4x). Isso porque a derivada de tan(u) é sec^2(u) cdot u', onde u = 4x e u' = 4.
  • A derivada de sin(5x) em relação a x é 5cos(5x). Similarmente, a derivada de sin(u) é cos(u) cdot u', onde u = 5x e u' = 5.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo no limite:
limx to 0 tan(4x)sin(5x) = limx to 0 4sec^2(4x)5cos(5x)

Passo 6

Vamos simplificar as funções trigonométricas:
  • sec^2(4x) é igual a 1cos^2(4x).
Então, substituindo:
4sec^2(4x)5cos(5x) = 45 cdot 1cos^2(4x) cdot cos(5x)

Passo 7

Agora, avaliamos o limite quando x to 0. Sabemos que cos(0) = 1, então:
45 cdot 1cos^2(0) cdot cos(0) = 45 cdot 11 cdot 1 = 45

Resposta

O limite é 45.

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