Encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso está dentro do conteúdo de limites em cálculo, e para resolver, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de 0 e, se necessário, aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0. Sabemos que
e
também se aproximam de 0 nessa situação, porque tanto a tangente quanto o seno de um ângulo pequeno são próximos desse ângulo em radianos.
Passo 3
Quando temos um limite da forma
, como é o caso aqui, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se o limite de
dá uma forma indeterminada
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
A derivada de
em relação a é . Isso porque a derivada de é , onde e . -
A derivada de
em relação a é . Similarmente, a derivada de é , onde e .
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo no limite:
Passo 6
Vamos simplificar as funções trigonométricas:
-
é igual a .
Então, substituindo:
Passo 7
Agora, avaliamos o limite quando
. Sabemos que
, então:
Resposta
O limite é
.