Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1+sen n10^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 1+sin n10^n
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar o fato de que sin n é limitado e aplicar um teste de comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Observamos que, para todo n,
-1 <= sin n <= 1 Longrightarrow 0 <= 1 + sin n <= 2
Logo,
|1+sin n10^n| <= 210^n

Passo 3

A série
sumn=1^infty 210^n
é uma série geométrica de razão r=tfrac110, que satisfaz |r|<1. Sabemos que
sumn=1^infty 210^n =2sumn=1^inftyl(110r)^n =2cdottfrac1101-tfrac110 =29<infty

Passo 4

Como sumn=1^inftyl|tfrac1+sin n10^nr| converge (por comparação com sum2/10^n), a série original converge absolutamente. Logo, ela converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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