Encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita. Isso envolve o estudo de limites e, possivelmente, a aplicação da Regra de L’Hôpital. Vamos ver qual método fica mais fácil de aplicar aqui!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando
se aproxima de 0 pela direita. Sabemos que:
-
tende a quando . - Portanto,
tende a porque o quadrado de um número grande (mesmo sendo negativo) dá um número grande positivo. - No denominador,
tende a 0.
Então, nosso limite está na forma
.
Passo 3
Agora, precisamos decidir se aplicamos a Regra de L’Hôpital ou não. A Regra de L’Hôpital é útil quando o limite está nas formas
ou
. No nosso caso, temos
, que não se encaixa nessas situações.
Passo 4
Com isso, não podemos usar a Regra de L’Hôpital diretamente. Mas podemos entender o comportamento do limite observando como as funções crescem ou diminuem.
Sabemos que, conforme
se aproxima de 0 pela direita:
-
cresce para . -
diminui para 0.
Então, estamos dividindo algo que está crescendo sem limites por algo que está se aproximando de zero. Isso geralmente resulta em
, já que o numerador está “ganhando” mais rapidamente do que o denominador está diminuindo.
Resposta
O limite é
.