Encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x 0^+ (ln x)^2x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa encontrar o limite de (ln x)^2x quando x se aproxima de 0 pela direita. Isso envolve o estudo de limites e, possivelmente, a aplicação da Regra de L’Hôpital. Vamos ver qual método fica mais fácil de aplicar aqui!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando x se aproxima de 0 pela direita. Sabemos que:
  • ln x tende a -infty quando x to 0^+.
  • Portanto, (ln x)^2 tende a +infty porque o quadrado de um número grande (mesmo sendo negativo) dá um número grande positivo.
  • No denominador, x tende a 0.
Então, nosso limite está na forma +infty0^+.

Passo 3

Agora, precisamos decidir se aplicamos a Regra de L’Hôpital ou não. A Regra de L’Hôpital é útil quando o limite está nas formas 00 ou inftyinfty. No nosso caso, temos +infty0^+, que não se encaixa nessas situações.

Passo 4

Com isso, não podemos usar a Regra de L’Hôpital diretamente. Mas podemos entender o comportamento do limite observando como as funções crescem ou diminuem.
Sabemos que, conforme x se aproxima de 0 pela direita:
  • (ln x)^2 cresce para +infty.
  • x diminui para 0.
Então, estamos dividindo algo que está crescendo sem limites por algo que está se aproximando de zero. Isso geralmente resulta em +infty, já que o numerador está “ganhando” mais rapidamente do que o denominador está diminuindo.

Resposta

O limite é +infty.

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