Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty sen(1n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftysinl(tfrac1nr)
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui são séries numéricas e usaremos o critério de comparação por limite, junto com o comportamento assintótico de sin x quando xto0.

Passo 2

Observamos que, para ntoinfty, temos tfrac1nto0. E da teoria de limites de funções elementares, sabemos que
limxto0sin xx=1
Fazendo x=tfrac1n, obtemos
limntoinftysinl(tfrac1nr)tfrac1n =1

Passo 3

Pelo critério da comparação por limite, como
limntoinftysinl(tfrac1nr)tfrac1n=1 e sumn=1^infty1n
é a série harmônica que diverge, concluímos que
sumn=1^inftysinl(tfrac1nr)
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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