Indique o tipo de indeterminação (
ou
) e utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
;
Sugestões: (ii) para derivar
, use a regra da cadeia,
Sugestões: (ii) para derivar
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite
usando a Regra de L’Hôpital. Vamos precisar saber sobre limites, funções logarítmicas e a Regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação desse limite. Quando
tende a
,
também tende a
, então
também vai para
. Já o denominador é simplesmente
, que também tende a
. Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 3
Como temos uma forma
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Passo 4
Vamos derivar o numerador
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos derivar o denominador
. A derivada de
em relação a
é simplesmente 1.
Passo 6
Com as derivadas prontas, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Passo 7
Observamos que ainda temos uma forma
, então aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital. Vamos derivar o numerador
e o denominador 1.
Passo 8
Derivando o numerador
:
Usamos a regra do quociente:
Passo 9
Derivando o denominador 1, a derivada é 0. Porém, não podemos ter denominateur 0, então vamos simplificar a expressão anterior:
Agora, percebemos que
cresce mais devagar que
, então o limite dessa expressão é 0.
Resposta
O limite
é igual a 0.