Indique o tipo de indeterminação ( 0 / 0 ou infty / infty ) e utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x +infty ln ^3(x)x;
Sugestões: (ii) para derivar ln ^3(x), use a regra da cadeia,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite usando a Regra de L’Hôpital. Vamos precisar saber sobre limites, funções logarítmicas e a Regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação desse limite. Quando tende a , também tende a , então também vai para . Já o denominador é simplesmente , que também tende a . Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo .

Passo 3

Como temos uma forma , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.

Passo 4

Vamos derivar o numerador ddx ln^3(x) = 3 ln^2(x) cdot 1x = 3 ln^2(x)x . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos derivar o denominador . A derivada de em relação a é simplesmente 1.

Passo 6

Com as derivadas prontas, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
limx +infty ln^3(x)x = limx +infty 3 ln^2(x)x1 = limx +infty 3 ln^2(x)x

Passo 7

Observamos que ainda temos uma forma , então aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital. Vamos derivar o numerador e o denominador 1.

Passo 8

Derivando o numerador ddx ( 3 ln^2(x)x ) = 3 cdot 2 ln(x) cdot 1x cdot x - 3 ln^2(x) cdot 1x^2 = 6 ln(x) - 3 ln^2(x)x^2 :
Usamos a regra do quociente:

Passo 9

Derivando o denominador 1, a derivada é 0. Porém, não podemos ter denominateur 0, então vamos simplificar a expressão anterior:
limx +infty 6 ln(x) - 3 ln^2(x)x^2
Agora, percebemos que cresce mais devagar que , então o limite dessa expressão é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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