Considere a função f(x)=x^2-sen x-1 e um erro 0,01
a) Encontre um intervalo para a(s) raiz(es) pelo Método Gráfico. Resp: [-1,0] e [1,2]
b) Refine as raízes encontradas pelo método da Bisseção e pelo método de Newton.

Passo 1

O enunciado pede para refinar as raízes da função f(x)=x^2-senx-1, que pelo método gráfico ocorrem nos intervalos [-1,0] e [1,2]. Vamos usar o método da bisseção e o método de Newton com tolerância 0,01.

Passo 2

Aplicando o método da bisseção em [-1,0]: f(-1)>0 e f(0)<0, então a raiz está neste intervalo. A cada iteração definimos a e b, calculamos c=(a+b)/2 e verificamos o sinal de f(c) para escolher o subintervalo onde permanece a raiz. Repetimos até |b-a|<0.01. Após 7 iterações obtemos o intervalo final [-0.640625,-0.6328125], cuja raiz aproximada é xapprox-0.6367.

Passo 3

Aplicando o método da bisseção em [1,2]: f(1)<0 e f(2)>0, idem iteramos definindo c=(a+b)/2 e reduzindo o intervalo até |b-a|<0.01. Também em 7 iterações chegamos a [1.40625,1.4140625], logo raiz aproximada xapprox1.4102.

Passo 4

Aplicando o método de Newton: derivada f'(x)=2x-cos x e iteração xn+1=xn-f(xn)f'(xn). Para a raiz em torno de -0.636 escolhemos x0=-0.5. Em duas iterações chegamos a x2approx-0.6365 com |x2-x1|<0.01.

Passo 5

Para a raiz em torno de 1.41 escolhemos x0=1.5. Novamente em duas iterações obtemos x2approx1.4098 com |x2-x1|<0.01.

Resposta

Método da bisseção: raízes em x\u2248-0.6367 e x\u22481.4102; Método de Newton: raízes em x\u2248-0.6365 e x\u22481.4098.

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