Questão bônus: ( 1,0 ponto) Considere
e
. O que podemos dizer sobre o lugar geométrico da imagem dessas duas funções?
Passo 1
O enunciado dá duas curvas paramétricas em
:
O conteúdo aqui é identificação do lugar geométrico via coordenadas polares: reconhecer expressões da forma
.
Passo 2
Para
, escrevemos
Em coordenadas polares,
e . Calculamos
e também
. Logo a relação entre
e
é
que é a equação de uma espiral logarítmica decrescente.
Passo 3
Para
, análogamente,
implica
com
. Assim obtemos
outra espiral logarítmica, mas com decaimento mais rápido.
Passo 4
Concluímos que ambas as imagens são espirais logarítmicas centradas na origem, partindo de
em
e enrolando-se para dentro à medida que
cresce. A diferença é apenas o fator de decaimento no raio:
para
e
para
.
Resposta
As duas curvas são espirais logarítmicas dadas em coordenadas polares por