Questão bônus: ( 1,0 ponto) Considere F(t)=(e^-t cos t, e^-t sen t) e G(t)= (e^-2 t cos t, e^-2 t sen t). O que podemos dizer sobre o lugar geométrico da imagem dessas duas funções?

Passo 1

O enunciado dá duas curvas paramétricas em R^2:
F(t) = l(e^-tcos t,;e^-tsen tr),
G(t) = l(e^-2tcos t,;e^-2tsen tr)
O conteúdo aqui é identificação do lugar geométrico via coordenadas polares: reconhecer expressões da forma (rcostheta,rsentheta).

Passo 2

Para , escrevemos
Em coordenadas polares, e . Calculamos
e também . Logo a relação entre e é
que é a equação de uma espiral logarítmica decrescente.

Passo 3

Para G, análogamente,
x(t) = e^-2tcos t, y(t) = e^-2tsen t
implica
r = raizl(e^-2tcos tr)^2 + l(e^-2tsen tr)^2 = e^-2t,
com theta = t. Assim obtemos
r = e^-2theta,
outra espiral logarítmica, mas com decaimento mais rápido.

Passo 4

Concluímos que ambas as imagens são espirais logarítmicas centradas na origem, partindo de (1,0) em t=0 e enrolando-se para dentro à medida que t cresce. A diferença é apenas o fator de decaimento no raio: ;r=e^-theta para F e ;r=e^-2theta para G.

Resposta

As duas curvas são espirais logarítmicas dadas em coordenadas polares por
F:;r = e^-theta, G:;r = e^-2theta

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