Faça o esboço da região
no plano cartesiano e descreva
como sendo do tipo I ou do tipo II. Caso deseje ou não seja possível descrevê-la como sendo uma única região desses dois tipos, subdivida-a em sub-regiões do tipo I ou do tipo II e descreva-as.
é a região delimitada pelos eixos coordenados (eixo-x e eixo-y) e a curva de equação
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra desenhar a região D no plano e dizer se ela é do tipo I (simples na vertical) ou do tipo II (simples na horizontal). A região é o triângulo formado pelos eixos x=0, y=0 e pela reta x+y=4. Isso é assunto de integrais duplas e classificação de domínios. Vamos precisar lembrar as definições:
- Região tipo I: a≤x≤b e g₁(x)≤y≤g₂(x).
- Região tipo II: c≤y≤d e h₁(y)≤x≤h₂(y).
Passo 2
Primeiro, desenha no papel os eixos x e y. Marca os pontos onde x+y=4 corta cada eixo: se y=0, x=4 (ponto (4,0)); se x=0, y=4 (ponto (0,4)). A região D é o triângulo com vértices (0,0), (4,0) e (0,4), ou seja tudo que satisfaz x≥0, y≥0 e x+y≤4.
Passo 3
Vamos ver se dá pra classificar como tipo I (faixas verticais).
Definição: D é tipo I se existir um intervalo [a,b] de x e duas funções g₁(x)≤g₂(x) tais que
Definição: D é tipo I se existir um intervalo [a,b] de x e duas funções g₁(x)≤g₂(x) tais que
Aqui, olhando pro triângulo, x varia de 0 até 4. Para cada x fixo nesse intervalo, y começa em 0 (eixo) e vai até a reta y=4−x. Então:
Pronto, está descrito como tipo I sem subdividir.
Passo 4
Também podemos ver como tipo II (faixas horizontais).
Definição: D é tipo II se existir um intervalo [c,d] de y e h₁(y)≤h₂(y) tais que
Definição: D é tipo II se existir um intervalo [c,d] de y e h₁(y)≤h₂(y) tais que
No nosso triângulo, y vai de 0 até 4. Para cada y entre 0 e 4, x começa em 0 e vai até x=4−y. Então:
Resposta
D pode ser descrita de duas formas equivalentes:
Como tipo I:
Como tipo I:
Como tipo II: