Considere a função
.
(a) Esboce o domínio de
.
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de
é uma reta? Justifique sua resposta!
(a) Esboce o domínio de
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício sobre a função
. A gente vai precisar entender o que é o domínio de uma função e o que são curvas de nível. Vou te mostrar como esboçar o domínio dessa função e também verificar se a curva de nível 1 dela é uma reta. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a função
, vemos que temos uma fração. E a gente sabe que o denominador de uma fração não pode ser zero, porque divisão por zero não existe.
Passo 3
Então, para encontrar o domínio, precisamos garantir que o denominador
seja diferente de zero. Vamos resolver isso:
Isso simplifica para:
Passo 4
Então, o domínio da função
é todos os pares
onde
não é igual a 1. Em termos gráficos, isso significa que todo o plano
está no domínio, exceto a linha vertical onde
.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: as curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
que fazem a função assumir um valor constante. No caso, queremos a curva de nível onde
.
Passo 6
Vamos definir a curva de nível 1:
Vamos resolver essa equação para ver que tipo de curva ela forma.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
):
Agora, vamos isolar
:
Passo 8
A equação
é a equação de uma reta. Isso significa que a curva de nível 1 da função
é, de fato, uma reta.
Resposta
(a) O domínio de
é todos os pares
onde
.
(b) Sim, a curva de nível 1 de
é uma reta, pois sua equação simplifica para
.