Considere a função f(x, y)=3 y+12 x-2.
(a) Esboce o domínio de f.
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de f é uma reta? Justifique sua resposta!

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício sobre a função f(x, y) = 3y + 12x - 2 . A gente vai precisar entender o que é o domínio de uma função e o que são curvas de nível. Vou te mostrar como esboçar o domínio dessa função e também verificar se a curva de nível 1 dela é uma reta. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. Olhando para a função f(x, y) = 3y + 12x - 2 , vemos que temos uma fração. E a gente sabe que o denominador de uma fração não pode ser zero, porque divisão por zero não existe.

Passo 3

Então, para encontrar o domínio, precisamos garantir que o denominador 2x - 2 seja diferente de zero. Vamos resolver isso:
2x - 2 neq 0
Isso simplifica para:
2x neq 2 implies x neq 1

Passo 4

Então, o domínio da função f(x, y) é todos os pares (x, y) onde x não é igual a 1. Em termos gráficos, isso significa que todo o plano xy está no domínio, exceto a linha vertical onde x = 1 .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: as curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos (x, y) que fazem a função assumir um valor constante. No caso, queremos a curva de nível onde f(x, y) = 1 .

Passo 6

Vamos definir a curva de nível 1:
f(x, y) = 1 implies 3y + 12x - 2 = 1
Vamos resolver essa equação para ver que tipo de curva ela forma.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2x - 2 (lembrando que 2x - 2 neq 0 ):
3y + 1 = 2x - 2
Agora, vamos isolar y :
3y = 2x - 3 implies y = 23x - 1

Passo 8

A equação y = 23x - 1 é a equação de uma reta. Isso significa que a curva de nível 1 da função f(x, y) é, de fato, uma reta.

Resposta

(a) O domínio de f é todos os pares (x, y) onde x neq 1 .
(b) Sim, a curva de nível 1 de f é uma reta, pois sua equação simplifica para y = 23x - 1 .

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