Considere a função
Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar de alguns conceitos de funções racionais, como domínio, assíntotas, interceptações e o comportamento da função em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos um denominador
, ele não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, resolvemos:
Então, o domínio é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar as assíntotas verticais. Essas aparecem onde o denominador é zero e o numerador não é zero. Já vimos que
e
fazem o denominador zero. Vamos verificar o numerador nesses pontos:
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Vamos procurar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o limite da função quando
vai para o infinito:
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Vamos encontrar as interceptações com os eixos.
- Interceptação com o eixo
: quando .
Então, o gráfico corta o eixo
no ponto
.
- Interceptação com o eixo
: quando .
Então, o gráfico também corta o eixo
no ponto
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos determinados pelas assíntotas verticais
e
:
- Para
: Escolha um valor, por exemplo, .
Então, a função está acima da assíntota horizontal
.
- Para
: Escolha .
A função está abaixo da assíntota horizontal.
- Para
: Escolha .
Novamente, a função está acima da assíntota horizontal.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O gráfico tem assíntotas verticais em
e . - Tem uma assíntota horizontal em
. - Passa pela origem
. - Para
e , a função está acima de . - Para
, a função está abaixo de .
Resposta
O gráfico da função
possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, corta os eixos nos pontos
, e se comporta acima de
para
e
, e abaixo de
para
. Com base nisso, o esboço do gráfico reflete essas características.