Considere a função
f(x)=x^2x^2-1
Esboce o gráfico de f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função f(x) = x^2x^2-1 . Para isso, vamos precisar de alguns conceitos de funções racionais, como domínio, assíntotas, interceptações e o comportamento da função em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de x para os quais a função está definida. Como temos um denominador x^2 - 1 , ele não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, resolvemos:
x^2 - 1 neq 0 Rightarrow x^2 neq 1 Rightarrow x neq pm 1
Então, o domínio é todos os números reais exceto x = 1 e x = -1 .

Passo 3

Agora, vamos achar as assíntotas verticais. Essas aparecem onde o denominador é zero e o numerador não é zero. Já vimos que x = 1 e x = -1 fazem o denominador zero. Vamos verificar o numerador nesses pontos:
f(1) = 1^21^2-1 = 10 (inexistente)
f(-1) = (-1)^2(-1)^2-1 = 10 (inexistente)
Então, temos assíntotas verticais em x = 1 e x = -1 .

Passo 4

Vamos procurar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o limite da função quando x vai para o infinito:
limx to pminfty x^2x^2-1 = limx to pminfty 11 - 1x^2 = 11 - 0 = 1
Então, a função tem uma assíntota horizontal em y = 1 .

Passo 5

Vamos encontrar as interceptações com os eixos.
  • Interceptação com o eixo y : quando x = 0 .
f(0) = 0^20^2-1 = 0
Então, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, 0) .
  • Interceptação com o eixo x : quando f(x) = 0 .
x^2x^2-1 = 0 Rightarrow x^2 = 0 Rightarrow x = 0
Então, o gráfico também corta o eixo x no ponto (0, 0) .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos determinados pelas assíntotas verticais x = -1 e x = 1 :
  1. Para x < -1 : Escolha um valor, por exemplo, x = -2 .
f(-2) = 44 -1 = 43 approx 1,33
Então, a função está acima da assíntota horizontal y = 1 .
  1. Para -1 < x < 1 : Escolha x = 0 .
f(0) = 0
A função está abaixo da assíntota horizontal.
  1. Para x > 1 : Escolha x = 2 .
f(2) = 44 -1 = 43 approx 1,33
Novamente, a função está acima da assíntota horizontal.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O gráfico tem assíntotas verticais em x = -1 e x = 1 .
  • Tem uma assíntota horizontal em y = 1 .
  • Passa pela origem (0, 0) .
  • Para x < -1 e x > 1 , a função está acima de y = 1 .
  • Para -1 < x < 1 , a função está abaixo de y = 1 .

Resposta

O gráfico da função f(x) = x^2x^2-1 possui assíntotas verticais em x = -1 e x = 1 , uma assíntota horizontal em y = 1 , corta os eixos nos pontos (0, 0) , e se comporta acima de y = 1 para x < -1 e x > 1 , e abaixo de y = 1 para -1 < x < 1 . Com base nisso, o esboço do gráfico reflete essas características.

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