Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral.
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^2 d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o sólido cuja volume é dado por
integral0^1!integral0^raiz1-x^2!integral0^2 dy,dz,dx
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de uma integral tripla: vamos identificar a região de integração e depois esboçar o sólido em 3D.

Passo 2

Analisando a ordem dos integrais e dos limites:
x varia de 0 a 1.
– Para cada x, z varia de 0 a raiz1-x^2.
– Para cada par (x,z), y varia de 0 a 2.

Passo 3

A projeção dessa região no plano xz é
0 <= x <= 1, 0 <= z <= raiz1-x^2,
que é exatamente o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante do plano xz.

Passo 4

Como y varia de 0 a 2 para cada ponto (x,z) da base, o sólido é a extrusão desse quarto de disco ao longo do eixo y. Em outras palavras, é um “quarto de cilindro” de raio 1 e altura 2, com o eixo do cilindro paralelo ao eixo y.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe três eixos: x apontando para a direita, z para cima e y saindo (ou entrando) perpendicularmente no plano do papel.
  2. No plano xz, marque o arco de círculo x^2+z^2=1 no primeiro quadrante e ligue-o aos eixos x=0 e z=0.
  3. Nos pontos desse arco, trace retas paralelas ao eixo y de y=0 até y=2.
  4. Feche as faces em y=0 e y=2 ligando as extremidades da curva do quarto de círculo.

Resposta

O sólido é um cilindro de raio 1 e altura 2, limitado ao primeiro quadrante do plano xz. Equivalentemente, um “quarto de cilindro” cujo eixo é o eixo y, com base no quarto de disco x^2+z^2<=1, x>=0, z>=0, e estendido de y=0 a y=2.

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