Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o sólido cuja volume é dado por
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de uma integral tripla: vamos identificar a região de integração e depois esboçar o sólido em 3D.
Passo 2
Analisando a ordem dos integrais e dos limites:
– varia de
a
.
– Para cada ,
varia de
a
.
– Para cada par ,
varia de
a
.
–
– Para cada
– Para cada par
Passo 3
A projeção dessa região no plano
é
que é exatamente o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante do plano
.
Passo 4
Como
varia de
a
para cada ponto
da base, o sólido é a extrusão desse quarto de disco ao longo do eixo
. Em outras palavras, é um “quarto de cilindro” de raio
e altura
, com o eixo do cilindro paralelo ao eixo
.
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe três eixos:
apontando para a direita, para cima e saindo (ou entrando) perpendicularmente no plano do papel. - No plano
, marque o arco de círculo no primeiro quadrante e ligue-o aos eixos e . - Nos pontos desse arco, trace retas paralelas ao eixo
de até . - Feche as faces em
e ligando as extremidades da curva do quarto de círculo.
Resposta
O sólido é um cilindro de raio
e altura
, limitado ao primeiro quadrante do plano
. Equivalentemente, um “quarto de cilindro” cujo eixo é o eixo
, com base no quarto de disco
,
,
, e estendido de
a
.