Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do sólido cujo volume é dado por
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de integrais triplas: traduzimos os limites de integração em desigualdades que definem a região
.
Passo 2
Dos limites obtém-se
Em particular
e
, isto é,
Passo 3
A equação
é a superfície de um cone duplo (napas superior e inferior) com eixo no eixo
. Como
, consideramos apenas a napa superior do cone.
Passo 4
Os limites
e
restringem o sólido a um quarto desta napa superior do cone, pois cortamos pelas faces dos planos coordenados
e
.
Passo 5
O teto do sólido é a face do plano
que intersecta o cone em
No primeiro quadrante
, essa curva é um quarto de elipse com interceptos
e
.
Passo 6
Para esboçar:
- Desenhe os eixos cartesianos
(para a direita), (para fora do plano) e (para cima). - Trace o cone definido por
, só a parte superior. - Corte esse cone pela metade nos planos
e , ficando apenas o quarto no canto onde . - Truncar o cone pela linha de interseção com
, que é o quarto de elipse de equação .
Resposta
O sólido é
isto é, um quarto da napa superior do cone
, truncado pelo plano
.