Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral.
integral0^9 integral0^y / 3 integral0^raizy^2-9 x^2 d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede o esboço do sólido cujo volume é dado por
integral0^9!integral0^y/3!integral0^raizy^2-9x^2dz,dx,dy
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de integrais triplas: traduzimos os limites de integração em desigualdades que definem a região EsubsetR^3.

Passo 2

Dos limites obtém-se
0<= y<=9, 0<= x<= tfracy3, 0<= z<= raizy^2-9x^2
Em particular z>=0 e z^2<= y^2-9x^2, isto é,
9x^2+z^2<= y^2

Passo 3

A equação
y^2 = 9x^2 + z^2
é a superfície de um cone duplo (napas superior e inferior) com eixo no eixo y. Como y>=0, consideramos apenas a napa superior do cone.

Passo 4

Os limites x>=0 e z>=0 restringem o sólido a um quarto desta napa superior do cone, pois cortamos pelas faces dos planos coordenados x=0 e z=0.

Passo 5

O teto do sólido é a face do plano
y=9,
que intersecta o cone em
9x^2+z^2=81 Longrightarrow x^29 + z^281=1
No primeiro quadrante x,z>=0, essa curva é um quarto de elipse com interceptos x=3 e z=9.

Passo 6

Para esboçar:
  • Desenhe os eixos cartesianos x (para a direita), z (para fora do plano) e y (para cima).
  • Trace o cone definido por y=raiz9x^2+z^2, só a parte superior.
  • Corte esse cone pela metade nos planos x=0 e z=0, ficando apenas o quarto no canto onde x,z>=0.
  • Truncar o cone pela linha de interseção com y=9, que é o quarto de elipse de equação 9x^2+z^2=81.

Resposta

O sólido é
E = (x,y,z)mid 0<= y<=9,;9x^2+z^2<= y^2,;x>=0,;z>=0,
isto é, um quarto da napa superior do cone y^2=9x^2+z^2, truncado pelo plano y=9.

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