Considere a função
Esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o esboço do seu gráfico em
. Esse é um problema de representação de superfícies definidas implicitamente ou explicitamente em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Para que
seja real, é preciso ter o argumento da raiz não negativo, isto é,
ou seja
Logo o domínio no plano
é a região acima (e na) da parábola
.
Passo 3
O gráfico de
é o conjunto de pontos
tais que
Elevando ao quadrado obtemos
com a condição adicional
.
Passo 4
A equação
é um paraboloide circular cujo eixo de simetria é o eixo
, voltado para valores de
positivos. No entanto, como
, só tomamos a “folha” superior desse paraboloide (onde
).
Passo 5
Para esboçar:
- No plano
, desenhe a parábola base . - Para cada valor fixo de
, a seção da superfície em é dada por que em é um semicírculo de raio . - À medida que
cresce, esses semicírculos vão aumentando de raio e deslocando-se para frente ao longo do eixo , formando a “tampa” superior do paraboloide.
Resposta
O gráfico de
é a parte superior (
) do paraboloide circular dado por
isto é, o “meio-paraboloide” que se abre no sentido positivo de
.