Considere a função
f(x, y)=raizy-x^2
Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=raizy - x^2 e pede o esboço do seu gráfico em R^3. Esse é um problema de representação de superfícies definidas implicitamente ou explicitamente em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para que f(x,y) seja real, é preciso ter o argumento da raiz não negativo, isto é,
y - x^2>= 0
ou seja
y>= x^2
Logo o domínio no plano xy é a região acima (e na) da parábola y = x^2.

Passo 3

O gráfico de f é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
z = raizy - x^2, y>= x^2, z>= 0
Elevando ao quadrado obtemos
z^2 = y - x^2 Long<=ftrightarrow y = x^2 + z^2,
com a condição adicional z>= 0.

Passo 4

A equação
y = x^2 + z^2
é um paraboloide circular cujo eixo de simetria é o eixo y, voltado para valores de y positivos. No entanto, como z=raizcdot, só tomamos a “folha” superior desse paraboloide (onde z>=0).

Passo 5

Para esboçar:
  1. No plano z=0, desenhe a parábola base y = x^2.
  2. Para cada valor fixo de y>0, a seção da superfície em y=const é dada por x^2+z^2=y, que em z>=0 é um semicírculo de raio raizy.
  3. À medida que y cresce, esses semicírculos vão aumentando de raio e deslocando-se para frente ao longo do eixo y, formando a “tampa” superior do paraboloide.

Resposta

O gráfico de f é a parte superior ( z>=0) do paraboloide circular dado por
y = x^2 + z^2,
isto é, o “meio-paraboloide” que se abre no sentido positivo de y.

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