Um investidor aplica inicialmente um valor
em uma conta que rende juros compostos à taxa mensal de
. A partir do primeiro mês, ele retira uma quantia fixa de valor
a cada mês.
Analise o comportamento da sequência
nos seguintes casos:
(i)
(ii)
(iii)
Em cada caso, o capital cresce, estabiliza ou tende a zero?
Analise o comportamento da sequência
(i)
(ii)
(iii)
Em cada caso, o capital cresce, estabiliza ou tende a zero?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício sobre juros compostos. Um investidor coloca uma quantia inicial
em uma conta que rende juros a uma taxa mensal de
. A cada mês, ele também tira uma quantia fixa
da conta. A gente precisa analisar como o capital
(o dinheiro na conta) se comporta ao longo dos meses em três situações diferentes:
- Quando
- Quando
- Quando
Vamos descobrir se o capital cresce, fica estável ou vai para zero em cada caso. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os juros compostos e resolver uma equação que descreve essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o capital muda a cada mês. A cada mês, o dinheiro na conta rende juros e depois tiramos uma quantia fixa.
A fórmula geral dos juros compostos para um mês é:
Aqui,
é o capital no mês
,
é a taxa de juros mensal, e
é a retirada mensal.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma expressão para
. Essa é uma sequência recorrente linear e podemos resolvê-la da seguinte maneira:
Primeiro, vamos rearranjar a equação:
Para resolver, encontramos a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Solução homogênea:
A solução é:
Solução particular:
Vamos supor que existe uma constante
tal que
:
Resolvendo para
:
Solução geral:
A solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 4
Agora que temos a expressão para
, vamos analisar o comportamento conforme os diferentes casos:
-
Quando
: Aqui, o termodomina. Como cresce exponencialmente, o capital vai crescer ao longo do tempo. -
Quando
: Nesse caso, o termo inicial. Assim:
O crescimento do capital é equilibrado pela retirada fixa, fazendo com que o capital se estabilize.
-
Quando
: Aqui, o termonão é suficiente para compensar a retirada . Com o tempo, o capital vai tender a zero.
Passo 5
Resumindo:
-
: O capital cresce ao longo do tempo. -
: O capital se estabiliza, permanecendo constante. -
: O capital tende a zero com o passar dos meses.
Resposta
Dependendo de
em relação a
:
- Se
, o capital cresce indefinidamente. - Se
, o capital se estabiliza. - Se
, o capital tende a zero.