Um investidor aplica inicialmente um valor M em uma conta que rende juros compostos à taxa mensal de r. A partir do primeiro mês, ele retira uma quantia fixa de valor m a cada mês.
Analise o comportamento da sequência (Cn) nos seguintes casos:
(i) M>mr
(ii) M=mr
(iii) M<mr
Em cada caso, o capital cresce, estabiliza ou tende a zero?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício sobre juros compostos. Um investidor coloca uma quantia inicial M em uma conta que rende juros a uma taxa mensal de r . A cada mês, ele também tira uma quantia fixa m da conta. A gente precisa analisar como o capital Cn (o dinheiro na conta) se comporta ao longo dos meses em três situações diferentes:
  1. Quando M > mr
  2. Quando M = mr
  3. Quando M < mr
Vamos descobrir se o capital cresce, fica estável ou vai para zero em cada caso. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os juros compostos e resolver uma equação que descreve essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o capital muda a cada mês. A cada mês, o dinheiro na conta rende juros e depois tiramos uma quantia fixa.
A fórmula geral dos juros compostos para um mês é:
Cn+1 = Cn times (1 + r) - m
Aqui, Cn é o capital no mês n , r é a taxa de juros mensal, e m é a retirada mensal.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma expressão para Cn . Essa é uma sequência recorrente linear e podemos resolvê-la da seguinte maneira:
Primeiro, vamos rearranjar a equação:
Cn+1 = (1 + r) Cn - m
Para resolver, encontramos a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Solução homogênea:
Cn+1 = (1 + r) Cn
A solução é:
Cn^(h) = C0 times (1 + r)^n
Solução particular:
Vamos supor que existe uma constante Cp tal que Cn+1 = Cn = Cp :
Cp = (1 + r) Cp - m
Resolvendo para Cp :
Cp - (1 + r) Cp = -m - r Cp = -m Cp = mr
Solução geral:
A solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Cn = Cn^(h) + Cp = C0 times (1 + r)^n + mr

Passo 4

Agora que temos a expressão para Cn , vamos analisar o comportamento conforme os diferentes casos:
  1. Quando M > mr :
    Aqui, o termo C0 times (1 + r)^n domina. Como (1 + r)^n cresce exponencialmente, o capital vai crescer ao longo do tempo.
  2. Quando M = mr :
    Nesse caso, o termo inicial C0 = mr . Assim:
Cn = mr times (1 + r)^n + mr
O crescimento do capital é equilibrado pela retirada fixa, fazendo com que o capital se estabilize.
  1. Quando M < mr :
    Aqui, o termo C0 times (1 + r)^n não é suficiente para compensar a retirada m . Com o tempo, o capital vai tender a zero.

Passo 5

Resumindo:
  1. M > mr : O capital cresce ao longo do tempo.
  2. M = mr : O capital se estabiliza, permanecendo constante.
  3. M < mr : O capital tende a zero com o passar dos meses.

Resposta

Dependendo de M em relação a mr :
  1. Se M > mr , o capital cresce indefinidamente.
  2. Se M = mr , o capital se estabiliza.
  3. Se M < mr , o capital tende a zero.

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