Um investidor aplica inicialmente um valor
em uma conta que rende juros compostos à taxa mensal de
. A partir do primeiro mês, ele retira uma quantia fixa de valor
a cada mês.
O limite
da sequência
, quando existe, é chamado de solução de equilíbrio. Assumindo que a sequência
seja convergente, determine o valor de
.
O limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um investidor que coloca um valor inicial
em uma conta que rende juros compostos a uma taxa mensal
. A partir do primeiro mês, ele retira um valor fixo
todo mês. Queremos encontrar o limite
dessa sequência de saldos, que chamamos de solução de equilíbrio, assumindo que essa sequência converge. Para resolver isso, vamos entender um pouco sobre juros compostos e como eles se aplicam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são juros compostos. Isso significa que os juros são calculados sobre o valor investido mais os juros acumulados anteriormente. A fórmula geral para o montante após um período é:
Aqui,
é o saldo no mês
,
é a taxa de juros mensal, e
é o valor retirado no final do mês.
Passo 3
Como estamos procurando o limite
quando
tende ao infinito, isso significa que o saldo não muda mais de mês para mês. Ou seja,
. Substituindo isso na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, vamos distribuir o
:
Em seguida, vamos subtrair
de ambos os lados para isolar os termos com
:
Passo 5
Agora, adicionamos
em ambos os lados:
E finalmente, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
O limite de equilíbrio
é dado por: