Um investidor aplica inicialmente um valor M em uma conta que rende juros compostos à taxa mensal de r. A partir do primeiro mês, ele retira uma quantia fixa de valor m a cada mês.
O limite L da sequência (Cn), quando existe, é chamado de solução de equilíbrio. Assumindo que a sequência (Cn) seja convergente, determine o valor de L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um investidor que coloca um valor inicial M em uma conta que rende juros compostos a uma taxa mensal r . A partir do primeiro mês, ele retira um valor fixo m todo mês. Queremos encontrar o limite L dessa sequência de saldos, que chamamos de solução de equilíbrio, assumindo que essa sequência converge. Para resolver isso, vamos entender um pouco sobre juros compostos e como eles se aplicam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são juros compostos. Isso significa que os juros são calculados sobre o valor investido mais os juros acumulados anteriormente. A fórmula geral para o montante após um período é:
Cn+1 = Cn times (1 + r) - m
Aqui, Cn é o saldo no mês n , r é a taxa de juros mensal, e m é o valor retirado no final do mês.

Passo 3

Como estamos procurando o limite L quando n tende ao infinito, isso significa que o saldo não muda mais de mês para mês. Ou seja, Cn+1 = Cn = L . Substituindo isso na fórmula:
L = L times (1 + r) - m

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar L . Primeiro, vamos distribuir o L :
L = L + L times r - m
Em seguida, vamos subtrair L de ambos os lados para isolar os termos com L :
0 = L times r - m

Passo 5

Agora, adicionamos m em ambos os lados:
m = L times r
E finalmente, dividimos ambos os lados por r para resolver para L :
L = mr

Resposta

O limite de equilíbrio L é dado por:
L = mr

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