Considere a função
f(x, y)=raizy-x^2
Qual a imagem de f?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=raizy - x^2
definida no conjunto de todos os pares (x,y) tais que o radicando seja não-negativo. O que queremos é a imagem (ou contradomínio efetivo) de f, ou seja, o conjunto de valores reais que f de fato assume.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio: precisamos ter
y - x^2 >= 0
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y >= x^2
Portanto o domínio é (x,y)inR^2: y>= x^2.

Passo 3

Como temos uma raiz quadrada de quantidade não-negativa, segue-se imediatamente que
f(x,y)=raizy - x^2>= 0
Isso mostra que a imagem de f está contida em [0,infty).

Passo 4

Para ver que todo valor t>=0 é assumido por f, basta tomar por exemplo
y = x^2 + t^2,
com qualquer xinR. Então
f(x,y)=raiz(x^2+t^2)-x^2=raizt^2=t
Isso prova que cada t>=0 pertence à imagem de f.

Resposta

A imagem de f é
[0,infty)

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