(Questão extra:) Determine a altura do cone circular reto, de maior volume, inscrito numa esfera de raio 6.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a altura h do cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio R=6. Para isso precisamos
  1. Relacionar o raio da base do cone r com a altura h usando a geometria da esfera.
  2. Expressar o volume V do cone em função apenas de h.
  3. Otimizar essa função por derivadas para achar o valor de h que maximiza V.

Passo 2

Colocamos o eixo do cone passando pelo centro da esfera, com o vértice do cone tocando o “polo norte” da esfera e a base tocando internamente em um plano abaixo. Se medirmos h do vértice até o plano da base, então, do centro da esfera ao plano da base a distância é R-h. Como todo ponto da circunferência da base está na esfera, vale
r^2 + (R - h)^2 = R^2
Substituindo R=6 obtemos
r^2 + (6 - h)^2 = 6^2 Longrightarrow r^2 = 36 - (6 - h)^2 = 36 - (36 -12h + h^2) = 12h - h^2

Passo 3

O volume do cone é
V = 13,pi,r^2,h
Substituindo r^2=12h - h^2 vem
V(h) = pi3,(12h - h^2),h = pil(4h^2 - h^33r)
O domínio fisicamente válido é 0<h<12 (para h=0 ou h=12 o cone degenera).

Passo 4

Calculamos a derivada de V(h):
V'(h) = pil(8h - h^2r) = pi,h,(8 - h)
As raízes de V'(h)=0 são h=0 e h=8. Como h=0 dá volume zero, o candidato não-trivial é h=8.

Passo 5

Para 0<h<8, temos V'(h)>0 (volume crescendo) e para 8<h<12, V'(h)<0 (volume decrescendo). Logo h=8 é máximo global no intervalo.

Resposta

A altura do cone de maior volume inscrito na esfera de raio 6 é 8.

Exercícios relacionados