(Questão extra:) Determine a altura do cone circular reto, de maior volume, inscrito numa esfera de raio 6.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a altura
do cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio
. Para isso precisamos
- Relacionar o raio da base do cone
com a altura usando a geometria da esfera. - Expressar o volume
do cone em função apenas de . - Otimizar essa função por derivadas para achar o valor de
que maximiza .
Passo 2
Colocamos o eixo do cone passando pelo centro da esfera, com o vértice do cone tocando o “polo norte” da esfera e a base tocando internamente em um plano abaixo. Se medirmos
do vértice até o plano da base, então, do centro da esfera ao plano da base a distância é
. Como todo ponto da circunferência da base está na esfera, vale
Substituindo
obtemos
Passo 3
O volume do cone é
Substituindo
vem
O domínio fisicamente válido é
(para
ou
o cone degenera).
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
As raízes de
são
e
. Como
dá volume zero, o candidato não-trivial é
.
Passo 5
Para
, temos
(volume crescendo) e para
,
(volume decrescendo). Logo
é máximo global no intervalo.
Resposta
A altura do cone de maior volume inscrito na esfera de raio 6 é
.