Considere a função
f(x, y)=cl |x| sen^2(y)raizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) k, & se (x, y)=(0,0)
Existe algum valor de k para o qual a função f seja contínua no ponto (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac|x|,sen^2(y)raizx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), k,&(x,y)=(0,0),
e pede para achar o valor de k que torne f contínua em (0,0). Para isso precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)|x|,sen^2(y)raizx^2+y^2
e igualar esse limite a k.

Passo 2

Começamos usando a desigualdade bem-conhecida
|sen(y)|<=|y|,,
que implica
sen^2(y)<= y^2

Passo 3

Substituindo essa estimativa em f, obtemos, para (x,y)neq(0,0),
l|f(x,y)r| =|x|,sen^2(y)raizx^2+y^2 <=|x|,y^2raizx^2+y^2

Passo 4

Denote r=raizx^2+y^2. Então |x|<= r e a desigualdade vira
l|f(x,y)r| <=rcdot y^2r =y^2<= r^2
Como (x,y)to(0,0) implica rto0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)l|f(x,y)r|=0 Longrightarrow lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 5

Para que f seja contínua em (0,0) é necessário e suficiente que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=k
Como o limite vale 0, devemos ter k=0.

Resposta

k=0

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