Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) x cos (1y)

Passo 1

O enunciado pede verificar a existência do limite da função
f(x,y)=xcos!l(tfrac1yr)
quando (x,y)to(0,0).
Estamos em Cálculo Multivariável e vamos usar o fato de que cos é limitada e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Como para todo yneq0 vale
-1 <= cos!l(tfrac1yr)<= 1,
multiplicando por x obtemos
-|x|;<=;xcos!l(tfrac1yr);<=;|x|

Passo 3

Quando (x,y)to(0,0) temos |x|to0.
Pelo Teorema do Confronto, de -|x|<= xcos(1/y)<=|x| e lim(x,y)to(0,0)|x|=0 segue que
lim(x,y)to(0,0)xcos!l(tfrac1yr)=0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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