Seja a função
f(x, y)=cc x yx^2+x y+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Mostre que f é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,yx^2 + x,y + y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para verificar a continuidade em (0,0). Lembrando que f é contínua em (0,0) se, e somente se,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0.]

Passo 2

Para testar a existência do limite, vamos aproximar (x,y) de (0,0) ao longo de diferentes retas de inclinação m. Seja y=m,x. Então, para xneq0,
fl(x,mxr) =x,(m,x)x^2 + x,(m,x) + (m,x)^2 =m,x^2x^2 + m,x^2 + m^2,x^2 =m1 + m + m^2

Passo 3

Observe que, nessa expressão, já não aparece x: conforme xto0 (e portanto (x,y)to(0,0) pela reta y=mx), o valor de f tende exatamente a
m1 + m + m^2,
que depende de m.

Passo 4

Como escolhas distintas de m dão limites diferentes, o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe. Em particular não se iguala a zero.

Resposta

A função f não é contínua em (0,0), pois o limite de f(x,y) ao aproximar-se de (0,0) varia conforme a reta de aproximação.

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