Seja a função
Mostre que
f é contínua em
(0,0) .
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar a continuidade em
(0,0) . Lembrando que
f é contínua em
(0,0) se, e somente se,
existe e é igual a
f(0,0)=0 .]
Passo 2
Para testar a existência do limite, vamos aproximar
(x,y) de
(0,0) ao longo de diferentes retas de inclinação
m . Seja
y=m,x . Então, para
xneq0 ,
Passo 3
Observe que, nessa expressão, já não aparece
x : conforme
xto0 (e portanto
(x,y)to(0,0) pela reta
y=mx ), o valor de
f tende exatamente a
que depende de
m .
Passo 4
Como escolhas distintas de
m dão limites diferentes, o limite
não existe. Em particular não se iguala a zero.
Resposta
A função
f não é contínua em
(0,0) , pois o limite de
f(x,y) ao aproximar-se de
(0,0) varia conforme a reta de aproximação.