Queremos mostrar que . Para isso, vamos checar dois casos: em pontos e em .
Passo 2
Seja (a,b)neq(0,0). Então a^2+b^2>0 e, para (x,y) suficientemente próximo de (a,b), também vale x^2+y^2>0. Nessa vizinhança, f(x,y) é combinação de soma, produto e quociente de polinômios com denominador não zero. Como essas operações preservam continuidade, f é contínua em (a,b).
Passo 3
Agora verificamos em (0,0). Precisamos mostrar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)
Note que, para (x,y)neq(0,0),
gl|x^2-y^2x^2+y^2gr|<=1,
pois |x^2-y^2|<= x^2+y^2. Assim
|f(x,y)|=l|x,yr|;gl|x^2-y^2x^2+y^2gr| <=|x,y|
Como |x,y|<=x^2+y^22 e x^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), segue que |f(x,y)|to0. Portanto lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.
Passo 4
Juntando os dois casos, f é contínua em todo ponto de R^2.