Mostre que a função
f(x, y)=cl x^2 y^32 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
não é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^2y^32x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f não é contínua em (0,0). Para verificar a continuidade em um ponto usamos a definição via limite: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Então nosso objetivo é calcular esse limite.

Passo 2

Vamos passar a coordenadas polares, escrevendo
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e thetain[0,2pi). Quando (x,y)to(0,0), temos rto0 e theta pode variar arbitrariamente.

Passo 3

Substituindo em f para (x,y)neq(0,0):
x^2y^3 = r^2cos^2theta;l(rsinthetar)^3 = r^5cos^2theta,sin^3theta,
2x^2+y^2 = 2,r^2cos^2theta + r^2sin^2theta = r^2l(2cos^2theta + sin^2thetar)
Logo, para r>0,
f(rcostheta,rsintheta) = r^5cos^2theta,sin^3thetar^2l(2cos^2theta + sin^2thetar) = r^3,cos^2theta,sin^3theta2cos^2theta + sin^2theta

Passo 4

Observe que o denominador
2cos^2theta + sin^2theta
é sempre maior ou igual a
mintheta(2cos^2theta + sin^2theta) =1,
pois 2cos^2theta + sin^2theta = 2-(sin^2theta)>=1. Assim existe constante M tal que
|cos^2theta,sin^3theta2cos^2theta + sin^2theta|<= M<infty
Então
l|f(rcostheta,rsintheta)r| <= r^3,M,
e como rto0 isto implica
limrto0f(rcostheta,rsintheta)=0

Passo 5

Concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =0 =f(0,0),
portanto f é contínua em (0,0).

Resposta

A afirmação de que f não é contínua em (0,0) está incorreta: na verdade
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
e f(0,0)=0, de modo que f é contínua em (0,0).

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