Uma torta é retirada do forno a uma temperatura de 180^circ C. Após um minuto sobre a mesa da cozinha, que tem um termômetro marcando 20^circ C, sua temperatura é de 100^circ C. Quanto tempo levará para a temperatura chegar a 40^circ C ?
Lembrar que a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a temperatura de uma torta que está esfriando. A gente vai usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em um ambiente com temperatura diferente. Precisamos descobrir quanto tempo vai levar para a torta esfriar de 100°C para 40°C, sabendo que o ambiente está a 20°C.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura da torta é proporcional à diferença entre a temperatura da torta e a do ambiente. Em fórmula:
dTdt = -k(T - Tamb)
Aqui, $ T(t) $ é a temperatura da torta no tempo $ t $, $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente (20°C) e $ k $ é uma constante positiva que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é:
T(t) = Tamb + (T0 - Tamb)e^-kt
Onde $ T_0 $ é a temperatura inicial da torta. No nosso caso, a torta saiu do forno a 180°C, então $ T_0 = 180 $.

Passo 4

Sabemos que após 1 minuto, a temperatura da torta é 100°C. Vamos usar isso para encontrar a constante $ k $. Substituindo os valores na equação:
k
Simplificando:
100 = 20 + (180 - 20)e^-k cdot 1
100 - 20 = 160 e^-k
80 = 160 e^-k
80160 = e^-k

Passo 5

Para encontrar $ k $, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
k
ln(0,5) = -k
k = -ln(0,5)

Passo 6

Agora que temos $ k $, vamos usar a fórmula para encontrar o tempo necessário para a torta chegar a 40°C:
k
Simplificando:
40 = 20 + (180 - 20)e^-0,693t
40 - 20 = 160 e^-0,693t
20 = 160 e^-0,693t
20160 = e^-0,693t

Passo 7

Vamos tirar o logaritmo natural para resolver para $ t $:
t
ln(0,125) = -0,693t
t = ln(0,125)-0,693

Resposta

Vai levar aproximadamente 3 minutos para a temperatura da torta chegar a 40°C.

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