Uma torta é retirada do forno a uma temperatura de
. Após um minuto sobre a mesa da cozinha, que tem um termômetro marcando
, sua temperatura é de
. Quanto tempo levará para a temperatura chegar a
?
Lembrar que a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente.
Lembrar que a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a temperatura de uma torta que está esfriando. A gente vai usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em um ambiente com temperatura diferente. Precisamos descobrir quanto tempo vai levar para a torta esfriar de 100°C para 40°C, sabendo que o ambiente está a 20°C.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura da torta é proporcional à diferença entre a temperatura da torta e a do ambiente. Em fórmula:
Aqui, $ T(t) $ é a temperatura da torta no tempo $ t $, $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente (20°C) e $ k $ é uma constante positiva que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é:
Onde $ T_0 $ é a temperatura inicial da torta. No nosso caso, a torta saiu do forno a 180°C, então $ T_0 = 180 $.
Passo 4
Sabemos que após 1 minuto, a temperatura da torta é 100°C. Vamos usar isso para encontrar a constante $ k $. Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar $ k $, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 6
Agora que temos $ k $, vamos usar a fórmula para encontrar o tempo necessário para a torta chegar a 40°C:
Simplificando:
Passo 7
Vamos tirar o logaritmo natural para resolver para $ t $:
Resposta
Vai levar aproximadamente 3 minutos para a temperatura da torta chegar a 40°C.