Considere a função
f(z)= 0, & z=0 z^5|z^4|, & z neq 0
Expresse f na forma f(z)=u(x, y)+i v(x, y).

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)= 0,&z=0, dfracz^5lvert z^4rvert,&zneq0,
e pede que a escrevamos na forma f(z)=u(x,y)+i,v(x,y), sendo z=x+iy. Para isso, vamos usar a forma polar de z e depois voltar a x e y.

Passo 2

Para zneq0 notamos que
lvert z^4rvert=lvert zrvert^4,
logo
f(z)=z^5lvert z^4rvert =z^5lvert zrvert^4 =z;z^4lvert zrvert^4 =zl(zlvert zrvertr)^4

Passo 3

Escrevendo z em coordenadas polares como
z=r,e^itheta, r=raizx^2+y^2, theta=arg(z),
temos tfraczlvert zrvert=e^itheta. Portanto
f(z) =r,e^ithetal(e^ithetar)^4 =r,e^i5theta =rl(cos(5theta)+isin(5theta)r)

Passo 4

Agora voltamos a x e y. Usamos
r=raizx^2+y^2, theta=arctan!l(tfracyxr)
(adaptando ao quadrante de (x,y)), de modo que
u(x,y) =raizx^2+y^2,cos!l(5arctan(tfracyx)r), v(x,y) =raizx^2+y^2,sin!l(5arctan(tfracyx)r)

Passo 5

No ponto z=0 vale f(0)=0, isto é
u(0,0)=0, v(0,0)=0

Resposta

Para z=x+iy fica
f(z)= 0+i,0,&(x,y)=(0,0),[6pt] raizx^2+y^2,cos!l(5arctan(yx)r) ;+;i,raizx^2+y^2,sin!l(5arctan(yx)r), &(x,y)neq(0,0) ]

Exercícios relacionados