Se f(z) e f(z) e forem analíticas em um domínio D, o que pode ser dito a respeito de f em todos os pontos em D?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f definida num domínio aberto e conexo DsubsetC tal que tanto
f(z)
quanto
f(z)
são analíticas em D. O tema é teoria de funções de variável complexa, mais precisamente o uso das derivadas de Wirtinger e do princípio de que uma função analítica com derivada identicamente zero é constante.

Passo 2

Como f é analítica em D, ela satisfaz a condição de Cauchy–Riemann no formato de derivadas de Wirtinger, isto é,
partial fpartial overline z(z)=0
para todo zin D.

Passo 3

Por outro lado, se f(z) também é analítica em D, então ela também satisfaz
partialpartial overline zl(f(z)r)=0
Mas usando a propriedade de conjugação complexa nas derivadas, tem-se
partialpartial overline zl(f(z)r) =partial fpartial z(z)=0
para todo zin D. Logo
partial fpartial z(z)=0
em D.

Passo 4

Agora vimos que em todo ponto zin D temos simultaneamente
partial fpartial z(z)=0 e partial fpartial overline z(z)=0
Isto significa que todas as derivadas parciais de f são zero, ou seja, f é localmente constante. Como D é conexo, isso implica que f é constante em todo D.

Resposta

f é constante em D.

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