Sejam
e
. Mostre que
Agora, use (1) nas expressões anteriores para
e
. Compare seus resultados com as expressões para
e
e deduza as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares, dadas em (10).
Passo 1
O enunciado nos dá as transformações polares
e a função holomorfa
Queremos primeiro obter, via regra da cadeia, as expressões de
,
,
e
. Em seguida, usando as equações de Cauchy–Riemann na forma cartesiana
vamos comparar os resultados e deduzir as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia para
, temos
De modo análogo para
,
Passo 3
Agora, use as Cauchy–Riemann cartesianas
para reescrever
e
. Substituindo em
obtemos
E em
vêm
Passo 4
Compare estes resultados com
e
:
Note que
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são