Sejam x=r cos theta, y=r sen theta e f(z)=u(x, y)+i v(x, y). Mostre que
ll partial upartial r=partial upartial x cos theta+partial upartial y sen theta, & partial upartial theta=-partial upartial x r sen theta+partial upartial y r cos theta e partial vpartial r=partial vpartial x cos theta+partial vpartial y sen theta, & partial vpartial theta=-partial vpartial x r sen theta+partial vpartial y r cos theta
Agora, use (1) nas expressões anteriores para vr e v. Compare seus resultados com as expressões para ur e u e deduza as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares, dadas em (10).

Passo 1

O enunciado nos dá as transformações polares
x = rcostheta, y = rsintheta
e a função holomorfa
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)
Queremos primeiro obter, via regra da cadeia, as expressões de partial u/partial r, partial u/partialtheta, partial v/partial r e partial v/partialtheta. Em seguida, usando as equações de Cauchy–Riemann na forma cartesiana
ux = vy, uy = -vx,
vamos comparar os resultados e deduzir as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para u(r,theta)=ul(x(r,theta),y(r,theta)r), temos
partial upartial r = ux,partial xpartial r + uy,partial ypartial r = uxcostheta + uysintheta,
partial upartial theta = ux,partial xpartialtheta + uy,partial ypartialtheta = ux(-rsintheta) + uy(rcostheta)
De modo análogo para v,
partial vpartial r = vxcostheta + vysintheta,
partial vpartial theta = vx(-rsintheta) + vy(rcostheta)

Passo 3

Agora, use as Cauchy–Riemann cartesianas
ux = vy, uy = -vx
para reescrever partial v/partial r e partial v/partialtheta. Substituindo em
partial vpartial r = vxcostheta + vysintheta
obtemos
partial vpartial r = (-uy)costheta + (ux)sintheta = uxsintheta - uycostheta
E em
partial vpartial theta = vx(-rsintheta) + vy(rcostheta)
vêm
partial vpartial theta = (-uy)(-rsintheta) + (ux)(rcostheta) = rl(uysintheta + uxcosthetar)

Passo 4

Compare estes resultados com partial u/partial r e partial u/partialtheta:
partial upartial r = uxcostheta + uysintheta, partial upartial theta = -r,uxsintheta + r,uycostheta
Note que
partial vpartial theta = rl(uxcostheta + uysinthetar) = r,partial upartial r Longrightarrow partial upartial r=1r,partial vpartial theta,
partial vpartial r = uxsintheta - uycostheta = -1rl(r,uxsintheta - r,uycosthetar) = -1r,partial upartial theta

Resposta

As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são
boxed ur = 1r,vtheta, vr = -1r,utheta

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