Considere a função
Mostre que
f não é diferenciável na origem.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
f não é diferenciável em
0 . O que vamos usar é a definição de derivada complexa em
0 , ou seja, o limite
Passo 2
Pelo enunciado,
f(0)=0 . Logo
Passo 3
Para
zneq0 temos
Escrevendo
z em forma polar,
z = r,e^itheta com
r>0 , tem-se
Passo 4
O valor de
e^4itheta depende de
theta , isto é, do caminho pelo qual
z se aproxima de
0 . Como o limite
não é único (depende de
theta ), não existe derivada em
0 .
Resposta
A função
f não é diferenciável na origem.