Considere a função
f(z)= 0, & z=0 z^5|z^4|, & z neq 0
Mostre que f não é diferenciável na origem.

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)= 0, & z=0, dfracz^5lvert z^4rvert, & zneq 0,
e pede para mostrar que f não é diferenciável em 0. O que vamos usar é a definição de derivada complexa em 0, ou seja, o limite
f'(0)=limzto0f(z)-f(0)z

Passo 2

Pelo enunciado, f(0)=0. Logo
f(z)-f(0)z = f(z)z para zneq0

Passo 3

Para zneq0 temos
f(z)z = z^5lvert zrvert^4z = z^5lvert zrvert^4,z = z^4lvert zrvert^4 = l(zlvert zrvertr)^4
Escrevendo z em forma polar, z = r,e^itheta com r>0, tem-se
l(zlvert zrvertr)^4 = l(e^ithetar)^4 = e^4itheta

Passo 4

O valor de e^4itheta depende de theta, isto é, do caminho pelo qual z se aproxima de 0. Como o limite
limzto0f(z)-f(0)z
não é único (depende de theta), não existe derivada em 0.

Resposta

A função f não é diferenciável na origem.

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