Considere a função
f(z)= 0, & z=0 z^5|z^4|, & z neq 0
Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas na origem. [Sugestão: use as definições baseadas em limites das derivadas parciais partial / u partial / x, partial / u partial / y, partial / v partial / x e partial / v partial / y em(0,0).]

Passo 1

O enunciado define a função
Chamando , queremos mostrar que, em , as equações de Cauchy–Riemann
são satisfeitas usando as definições de derivadas parciais por limite.

Passo 2

Para zneq0 temos lvert z^4rvert=lvert zrvert^4, logo
f(z)=z^5lvert zrvert^4 =z,z^4lvert zrvert^4 =z,e^i4arg z
Isso mostra que, restringindo z ao eixo real ou ao eixo imaginário, f age como a identidade nesses eixos.

Passo 3

Se e , então e
Logo
Pelas definições

Passo 4

Se com e , então e
portanto
ou seja
Assim

Passo 5

Reunindo os resultados:
ux(0,0)=1, vy(0,0)=1, uy(0,0)=0, vx(0,0)=0
Logo
ux(0,0)=vy(0,0), uy(0,0)=-vx(0,0),
isto é, as equações de Cauchy–Riemann valem em (0,0).

Resposta

As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas na origem.

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