Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas na origem. [Sugestão: use as definições baseadas em limites das derivadas parciais partial / u partial / x, partial / u partial / y, partial / v partial / x e partial / v partial / y em(0,0).]
Passo 1
O enunciado define a função
Chamando , queremos mostrar que, em , as equações de Cauchy–Riemann
são satisfeitas usando as definições de derivadas parciais por limite.
Passo 2
Para zneq0 temos lvert z^4rvert=lvert zrvert^4, logo
f(z)=z^5lvert zrvert^4 =z,z^4lvert zrvert^4 =z,e^i4arg z
Isso mostra que, restringindo z ao eixo real ou ao eixo imaginário, f age como a identidade nesses eixos.
Passo 3
Se e , então e
Logo
Pelas definições
Passo 4
Se com e , então e
portanto
ou seja
Assim
Passo 5
Reunindo os resultados:
ux(0,0)=1, vy(0,0)=1, uy(0,0)=0, vx(0,0)=0
Logo
ux(0,0)=vy(0,0), uy(0,0)=-vx(0,0),
isto é, as equações de Cauchy–Riemann valem em (0,0).
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas na origem.