1. Considere a função f: A ]-1,0], definida por f(x)=3 x+2x+1. Faça o que se pede:
    a) Determine A.
    b) Mostre que fé injetora.
    c) Responda a pergunta: fé sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f: A ]-1,0] , definida por f(x) = 3x + 2x + 1 . A matéria envolvida aqui é sobre funções, especificamente domínio, imagem, e os conceitos de injetora e sobrejetora. Para resolvermos, vamos precisar entender como determinar o domínio da função e verificar se ela é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 2

a) Determine A .
Primeiro, vamos encontrar o domínio A da função. O domínio de uma função racional como essa são todos os valores de x que não tornam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não existe.
Então, resolvemos:
x + 1 neq 0 Rightarrow x neq -1
Além disso, a imagem da função está restrita ao intervalo ]-1,0] , ou seja, queremos que f(x) seja maior que -1 e menor ou igual a 0.
Vamos resolver as desigualdades:
  1. f(x) > -1
3x + 2x + 1 > -1
Multiplicando ambos os lados por x + 1 (lembrando que o sinal da desigualdade pode mudar dependendo do sinal de x + 1 ):
3x + 2 > -1(x + 1)
3x + 2 > -x - 1
4x > -3
x > -34
  1. f(x) <= 0
3x + 2x + 1 <= 0
Para uma fração ser menor ou igual a zero, o numerador e o denominador devem ter sinais contrários ou o numerador ser zero.
Analisando os sinais:
  • 3x + 2 = 0 Rightarrow x = -23
  • x + 1 = 0 Rightarrow x = -1 (já excluído do domínio)
Então, combinando as condições, temos que x deve estar no intervalo -34 < x < -23 .
Portanto, o domínio A é:
A = ( -34, -23 )

Passo 3

b) Mostre que f é injetora.
Uma função é injetora se, sempre que f(x1) = f(x2) , então necessariamente x1 = x2 .
Vamos supor que f(x1) = f(x2) :
3x1 + 2x1 + 1 = 3x2 + 2x2 + 1
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
(3x1 + 2)(x2 + 1) = (3x2 + 2)(x1 + 1)
Expandindo ambos os lados:
3x1x2 + 3x1 + 2x2 + 2 = 3x1x2 + 3x2 + 2x1 + 2
Simplificando:
3x1 + 2x2 = 3x2 + 2x1
3x1 - 2x1 = 3x2 - 2x2
x1 = x2
Como chegamos a x1 = x2 , a função f é injetora.

Passo 4

c) Responda a pergunta: f é sobrejetora? Justifique.
Uma função é sobrejetora se toda imagem na codomínio ]-1,0] é atingida por pelo menos um elemento do domínio A .
O domínio A que encontramos é ( -34, -23 ) e a função mapeia para ]-1,0] .
Vamos verificar os limites da função nesse domínio:
  • Quando x se aproxima de -34 por cima:
f(-34) = 3(-34) + 2-34 + 1 = -94 + 214 = -1414 = -1
  • Quando x se aproxima de -23 por baixo:
f(-23) = 3(-23) + 2-23 + 1 = -2 + 213 = 013 = 0
Como a função atinge exatamente os valores -1 e 0 e é contínua no intervalo ( -34, -23 ) , todos os valores entre -1 e 0 são atingidos. Portanto, f é sobrejetora.

Resposta

a) A = ( -34, -23 )
b) A função f é injetora.
c) A função f é sobrejetora.

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