- Considere a função
, definida por
. Faça o que se pede:
a) Determine
.
b) Mostre que fé injetora.
c) Responda a pergunta: fé sobrejetora? Justifique.
a) Determine
b) Mostre que fé injetora.
c) Responda a pergunta: fé sobrejetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
, definida por
. A matéria envolvida aqui é sobre funções, especificamente domínio, imagem, e os conceitos de injetora e sobrejetora. Para resolvermos, vamos precisar entender como determinar o domínio da função e verificar se ela é injetora e/ou sobrejetora.
Passo 2
a) Determine
.
Primeiro, vamos encontrar o domínio
da função. O domínio de uma função racional como essa são todos os valores de
que não tornam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não existe.
Então, resolvemos:
Além disso, a imagem da função está restrita ao intervalo
, ou seja, queremos que
seja maior que -1 e menor ou igual a 0.
Vamos resolver as desigualdades:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que o sinal da desigualdade pode mudar dependendo do sinal de
):
Para uma fração ser menor ou igual a zero, o numerador e o denominador devem ter sinais contrários ou o numerador ser zero.
Analisando os sinais:
-
-
(já excluído do domínio)
Então, combinando as condições, temos que
deve estar no intervalo
.
Portanto, o domínio
é:
Passo 3
b) Mostre que
é injetora.
Uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
.
Vamos supor que
:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
Expandindo ambos os lados:
Simplificando:
Como chegamos a
, a função
é injetora.
Passo 4
c) Responda a pergunta:
é sobrejetora? Justifique.
Uma função é sobrejetora se toda imagem na codomínio
é atingida por pelo menos um elemento do domínio
.
O domínio
que encontramos é
e a função mapeia para
.
Vamos verificar os limites da função nesse domínio:
- Quando
se aproxima de por cima:
- Quando
se aproxima de por baixo:
Como a função atinge exatamente os valores -1 e 0 e é contínua no intervalo
, todos os valores entre -1 e 0 são atingidos. Portanto,
é sobrejetora.
Resposta
a)
b) A função
é injetora.
c) A função
é sobrejetora.