( 1,5 ponto) Determine a divergência e o rotacional do campo vetorial
F(x, y, z)=e^y z i-x^2 y^3 z j+cos (x^2) k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial F(x,y,z)=e^yz,i-x^2y^3z,j+cos(x^2),k. O conteúdo teórico necessário é a definição de divergência ( nablacdotF) e de rotacional ( nablatimesF), que envolvem derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 2

Para organizar o cálculo, identificamos as componentes escalares de F:
F1(x,y,z)=e^yz, F2(x,y,z)=-x^2y^3z, F3(x,y,z)=cos(x^2)

Passo 3

Agora calculamos a divergência usando
div,F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z
Como F1 não depende de x, temos partial F1/partial x=0. Em seguida,
partial F2partial y=-x^2cdot3y^2z=-3x^2y^2z,
e partial F3/partial z=0 já que F3 não depende de z. Portanto,
div,F=-3x^2y^2z

Passo 4

Para o rotacional, usamos
rot,F=nablatimesF,
cujos componentes são
(rot,F)1=partial F3partial y-partial F2partial z,
(rot,F)2=partial F1partial z-partial F3partial x,
(rot,F)3=partial F2partial x-partial F1partial y
Calculando cada um:
  • (rot,F)1=0-(-x^2y^3)=x^2y^3
  • (rot,F)2=y e^yz-(-2xsin(x^2))=y e^yz+2xsin(x^2)
  • (rot,F)3=-2xy^3z-(z e^yz)=-2xy^3z - z e^yz
    Por fim,
rot,F=(x^2y^3,;y e^yz+2xsin(x^2),;-2xy^3z - z e^yz)

Resposta

Divergência: -3x^2y^2z.
Rotacional: (x^2y^3,;y e^yz+2xsin(x^2),;-2xy^3z - z e^yz).

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