- Uma reta passando pela origem do plano cartesiano divide o triângulo de vértices ( 0,0 ), ( 1,0 ) e (1,9) em duas regiões de áreas iguais. Encontre a equação dessa reta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo no plano cartesiano com os vértices em (0,0), (1,0) e (1,9). Queremos achar a equação de uma reta que passa pela origem (0,0) e que divide esse triângulo em duas partes de áreas iguais. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre áreas de triângulos e interseção de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área total do triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (1,9). A fórmula da área de um triângulo com vértices em (x₁,y₁), (x₂,y₂) e (x₃,y₃) é:
Aplicando os pontos dados:
Então, a área total do triângulo é
unidades quadradas.
Passo 3
Queremos dividir esse triângulo em duas partes de áreas iguais, ou seja, cada parte deve ter área
. Vamos considerar que a reta que passa pela origem tem a forma
, onde
é o coeficiente angular que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde essa reta
intercepta os lados do triângulo. O triângulo tem três lados: de (0,0) a (1,0), de (1,0) a (1,9) e de (1,9) a (0,0).
A reta
já passa por (0,0), então precisamos encontrar o ponto de interseção com o lado de (1,0) a (1,9). Esse lado é vertical, com equação
. Substituindo
na reta
, temos:
Então, o ponto de interseção é (1, m).
Passo 5
Agora, temos dois triângulos separados pela reta
:
- O primeiro triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1, m).
- O segundo triângulo com vértices em (0,0), (1, m) e (1,9).
Vamos calcular a área do primeiro triângulo:
Usando a fórmula da área:
Queremos que essa área seja igual a
:
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Resposta
A equação da reta que divide o triângulo em duas partes de áreas iguais é: