1. Uma reta passando pela origem do plano cartesiano divide o triângulo de vértices ( 0,0 ), ( 1,0 ) e (1,9) em duas regiões de áreas iguais. Encontre a equação dessa reta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo no plano cartesiano com os vértices em (0,0), (1,0) e (1,9). Queremos achar a equação de uma reta que passa pela origem (0,0) e que divide esse triângulo em duas partes de áreas iguais. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre áreas de triângulos e interseção de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área total do triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (1,9). A fórmula da área de um triângulo com vértices em (x₁,y₁), (x₂,y₂) e (x₃,y₃) é:
Área = 12 |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)| Á
Aplicando os pontos dados:
Área = 12 |0(0 - 9) + 1(9 - 0) + 1(0 - 0)| = 12 |0 + 9 + 0| = 92 Á
Então, a área total do triângulo é 92 unidades quadradas.

Passo 3

Queremos dividir esse triângulo em duas partes de áreas iguais, ou seja, cada parte deve ter área 94. Vamos considerar que a reta que passa pela origem tem a forma y = m x, onde m é o coeficiente angular que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde essa reta y = m x intercepta os lados do triângulo. O triângulo tem três lados: de (0,0) a (1,0), de (1,0) a (1,9) e de (1,9) a (0,0).
A reta y = m x já passa por (0,0), então precisamos encontrar o ponto de interseção com o lado de (1,0) a (1,9). Esse lado é vertical, com equação x = 1. Substituindo x = 1 na reta y = m x, temos:
y = m cdot 1 = m
Então, o ponto de interseção é (1, m).

Passo 5

Agora, temos dois triângulos separados pela reta y = m x:
  1. O primeiro triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1, m).
  2. O segundo triângulo com vértices em (0,0), (1, m) e (1,9).
Vamos calcular a área do primeiro triângulo:
Usando a fórmula da área:
Área1 = 12 cdot base cdot a<ura = 12 cdot 1 cdot m = m2 Á
Queremos que essa área seja igual a 94:
m2 = 94

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar m:
m2 = 94 implies m = 94 cdot 2 = 92

Resposta

A equação da reta que divide o triângulo em duas partes de áreas iguais é:
y = 92 x

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