Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para a função exponencial
determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico. O conteúdo é estudo de função exponencial de base maior que 1; vamos usar propriedades básicas: existência para todo
, sinal sempre positivo, monotonicidade e assíntota.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que uma potência real de base positiva está definida para qualquer expoente real. Logo, o domínio de
é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Para a imagem, note que para toda
vale
pois uma potência de base positiva nunca zera nem fica negativa, e pode crescer arbitrariamente para
e aproximar-se de zero quando
. Então
Passo 4
Para esboçar o gráfico, fazemos o seguinte:
Escolhemos pontos-chave e caracterizamos o comportamento em extremidades.
Para alguns :
Escolhemos pontos-chave e caracterizamos o comportamento em extremidades.
Para alguns
A curva é crescente (pois base
), passa por
, através de
e de
, e tem assíntota horizontal em
quando
.
No esboço, trace o eixo na horizontal e o eixo
na vertical, marque esses pontos e desenhe uma curva suave que se aproxima de
à esquerda e cresce sem bound à direita.
No esboço, trace o eixo
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva exponencial crescente de assíntota , passando por
,
e aproximando-se de zero quando
.
Imagem:
Gráfico: curva exponencial crescente de assíntota