Considere uma função f:[a, b] R. Suponha que exista epsilon0>0 e que existam sequências xn e yn, para todo n in N, contidas em [a, b] com a seguinte propriedade: para todo n suficientemente grande, vale que |xn-yn|<1n, além disso, |xn-yn|<1n Rightarrow|f(xn)-f(yn)|>epsilon0. Sob essas hipóteses, mostre que f não é contínua em [a, b].

Passo 1

O enunciado considera uma função f:[a,b]toR e dá duas sequências xn e yn em [a,b] tais que, para algum epsilon0>0 e para todo n grande,
|xn - yn| < 1n Longrightarrow l|f(xn) - f(yn)r| > epsilon0
Precisamos provar que isso impede f de ser contínua em pelo menos um ponto de [a,b]. Vamos usar o critério sequencial de continuidade e o fato de que [a,b] é compacto (teorema de Bolzano–Weierstrass).

Passo 2

Como para todo n suficientemente grande vale l|xn - ynr|<1/n, concluímos
limntoinfty(xn - yn)=0
Isso mostra que as duas sequências ficam cada vez mais próximas conforme ntoinfty.

Passo 3

Pelo teorema de Bolzano–Weierstrass, a sequência xnsubset[a,b] tem uma subsequência convergente. Seja xnk tal que
limktoinftyxnk=c com cin[a,b]

Passo 4

Da estimativa
l|ynk-cr| <= l|ynk-xnkr| + l|xnk-cr|
e do fato de l|ynk-xnkr|<=1/nkto0 e l|xnk-cr|to0, segue
limktoinftyynk=c
Portanto ambas subsequências xnk e ynk convergem ao mesmo ponto c.

Passo 5

Suponha, por absurdo, que f seja contínua em c. Então, pela definição sequencial de continuidade, teríamos
limktoinftyf(xnk) = f(c) e limktoinftyf(ynk) = f(c)
Isso implica
limktoinftyl|f(xnk) - f(ynk)r| = 0,
mas isso contradiz a hipótese de que l|f(xn)-f(yn)r|>epsilon0 para todo n grande. Logo não pode ocorrer continuidade em c.

Resposta

f não é contínua em pelo menos um ponto cin[a,b].

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