Considere uma função . Suponha que exista e que existam sequências e , para todo , contidas em com a seguinte propriedade: para todo suficientemente grande, vale que , além disso, . Sob essas hipóteses, mostre que não é contínua em .
Passo 1
O enunciado considera uma função e dá duas sequências e em tais que, para algum e para todo grande,
Precisamos provar que isso impede f de ser contínua em pelo menos um ponto de [a,b]. Vamos usar o critério sequencial de continuidade e o fato de que [a,b] é compacto (teorema de Bolzano–Weierstrass).
Passo 2
Como para todo n suficientemente grande vale l|xn - ynr|<1/n, concluímos
limntoinfty(xn - yn)=0
Isso mostra que as duas sequências ficam cada vez mais próximas conforme ntoinfty.
Passo 3
Pelo teorema de Bolzano–Weierstrass, a sequência xnsubset[a,b] tem uma subsequência convergente. Seja xnk tal que
limktoinftyxnk=c com cin[a,b]
Passo 4
Da estimativa
l|ynk-cr| <= l|ynk-xnkr| + l|xnk-cr|
e do fato de l|ynk-xnkr|<=1/nkto0 e l|xnk-cr|to0, segue
limktoinftyynk=c
Portanto ambas subsequências xnk e ynk convergem ao mesmo ponto c.
Passo 5
Suponha, por absurdo, que f seja contínua em c. Então, pela definição sequencial de continuidade, teríamos
limktoinftyf(xnk) = f(c) e limktoinftyf(ynk) = f(c)
Isso implica
limktoinftyl|f(xnk) - f(ynk)r| = 0,
mas isso contradiz a hipótese de que l|f(xn)-f(yn)r|>epsilon0 para todo n grande. Logo não pode ocorrer continuidade em c.