Seja
definida por
para
. Assuma que
é contínua no intervalo
, mostre que:
a) O mínimo absoluto
de
pertence ao interior de
.
b) A equação
tem uma solução em
.
a) O mínimo absoluto
b) A equação
Passo 1
O enunciado define
por
e pede para mostrar que o ponto de mínimo absoluto
de
pertence a
e, a partir daí, que existe solução de
em
. Vamos usar o Teorema do Valor Extremo (continuidade
compacidade) e, em seguida, raciocínios sobre monotonicidade e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Calculemos
nos extremos do intervalo:
Passo 3
Escolhendo um ponto interior, por exemplo
, temos
Como
atinge valor menor que
em
, o mínimo absoluto não pode ocorrer em
nem em
. Assim o minimizador
está em
.
Passo 4
Em
temos
. Se
, então
perto de
e como
é estritamente crescente,
não seria mínimo. Analogamente, se
, então
perto de
e como
é estritamente decrescente, também não daria mínimo. Logo a única possibilidade é
o que mostra que essa equação tem solução em
.
Resposta
a) O mínimo absoluto
ocorre em
.
b) Logo existe tal que
.
b) Logo existe