Seja f:[0,1] R definida por f(x)=max (x, 2^-x) para x in[0,1]. Assuma que f é contínua no intervalo [0,1], mostre que:
a) O mínimo absoluto x0 de f pertence ao interior de (0,1).
b) A equação x=2^-x tem uma solução em (0,1).

Passo 1

O enunciado define f:[0,1]toR por
f(x)=maxl(x,2^-xr),
e pede para mostrar que o ponto de mínimo absoluto x0 de f pertence a (0,1) e, a partir daí, que existe solução de
x=2^-x
em (0,1). Vamos usar o Teorema do Valor Extremo (continuidade + compacidade) e, em seguida, raciocínios sobre monotonicidade e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Calculemos f nos extremos do intervalo:
f(0)=maxl(0,2^0r)=1, f(1)=maxl(1,2^-1r)=1

Passo 3

Escolhendo um ponto interior, por exemplo x=tfrac12, temos
fl(tfrac12r) =max!l(tfrac12,2^-1/2r) =max!l(tfrac12,tfrac1raiz2r) approx0,7071<1
Como f atinge valor menor que 1 em tfrac12, o mínimo absoluto não pode ocorrer em 0 nem em 1. Assim o minimizador x0 está em (0,1).

Passo 4

Em x0in(0,1) temos f(x0)=max(x0,2^-x0). Se x0>2^-x0, então f(x)=x perto de x0 e como xmapsto x é estritamente crescente, x0 não seria mínimo. Analogamente, se x0<2^-x0, então f(x)=2^-x perto de x0 e como xmapsto2^-x é estritamente decrescente, também não daria mínimo. Logo a única possibilidade é
x0=2^-x0,
o que mostra que essa equação tem solução em (0,1).

Resposta

a) O mínimo absoluto x0 ocorre em (0,1).
b) Logo existe x0in(0,1) tal que x0=2^-x0.

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