Seja a função f: R R, dada por: f(x)=raizx^2|sen(x^2)|+1x^4+x^2+2+raiz|sen(x)| é contínua? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RtoR, f(x)=raizx^2,l|sin(x^2)r| + 1,x^4 + x^2 + 2 + raizl|sin(x)r|,
e pede para verificar se ela é contínua em todo R. O conteúdo necessário é a propriedade de que suma, produto, quociente (quando o denominador não zera) e composição de funções contínuas são contínuas, bem como a continuidade de raizcdot no seu domínio.

Passo 2

Definimos o numerador
phi(x) = x^2,l|sin(x^2)r| + 1
As funções xmapsto x^2, xmapsto sin(x^2), tmapsto|t| e a soma com a constante 1 são contínuas em R. Logo, phi(x) é contínua em R.

Passo 3

Definimos o denominador
psi(x) = x^4 + x^2 + 2 + raizl|sin(x)r|
Cada função xmapsto x^4, xmapsto x^2, xmapstosin(x), tmapsto|t| e umapstoraizu (no domínio u>=0) é contínua. Assim, psi(x) é contínua em R. Além disso, para todo x vale
x^4+x^2+2 >= 2 e raizl|sin(x)r|>=0,
então psi(x)>=2>0 e nunca se anula.

Passo 4

Como phi(x) e psi(x) são contínuas e psi(x)neq0 em R, o quociente
h(x)=phi(x)psi(x)
é contínuo em R.

Passo 5

Finalmente,
f(x)=raizh(x),
e h(x)>=0 para todo x, de modo que a aplicação umapstoraizu é contínua em [0,infty). Logo f(x) é composição de funções contínuas em todo R.

Resposta

A função f é contínua em todo R.

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