Seja a função , dada por: é contínua? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se ela é contínua em todo R. O conteúdo necessário é a propriedade de que suma, produto, quociente (quando o denominador não zera) e composição de funções contínuas são contínuas, bem como a continuidade de raizcdot no seu domínio.
Passo 2
Definimos o numerador
phi(x) = x^2,l|sin(x^2)r| + 1
As funções xmapsto x^2, xmapsto sin(x^2), tmapsto|t| e a soma com a constante 1 são contínuas em R. Logo, phi(x) é contínua em R.
Passo 3
Definimos o denominador
psi(x) = x^4 + x^2 + 2 + raizl|sin(x)r|
Cada função xmapsto x^4, xmapsto x^2, xmapstosin(x), tmapsto|t| e umapstoraizu (no domínio u>=0) é contínua. Assim, psi(x) é contínua em R. Além disso, para todo x vale
x^4+x^2+2 >= 2 e raizl|sin(x)r|>=0,
então psi(x)>=2>0 e nunca se anula.
Passo 4
Como phi(x) e psi(x) são contínuas e psi(x)neq0 em R, o quociente
h(x)=phi(x)psi(x)
é contínuo em R.
Passo 5
Finalmente,
f(x)=raizh(x),
e h(x)>=0 para todo x, de modo que a aplicação umapstoraizu é contínua em [0,infty). Logo f(x) é composição de funções contínuas em todo R.