Considere a função f dada por
f(x)=\frac{x-5}{x^{2}-2 x+1}
Determine o domínio e encontre todas as assíntotas verticais e horizontais.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x-5}{x^{2}-2x+1}
e pede o domínio e as assíntotas verticais e horizontais. Vamos usar que o domínio é obtido impondo o denominador diferente de zero, que assíntotas verticais ocorrem onde a função “explode” (denominador zero sem cancelamento) e que assíntotas horizontais vêm dos limites em x\to\pm\infty, comparando graus do numerador e denominador.

Passo 2

Determinar o domínio: resolvemos
x^{2}-2x+1\neq0\quad\Longrightarrow\quad(x-1)^{2}\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq1.
Logo o domínio é
(-\infty,1)\,\cup\,(1,\infty).

Passo 3

Encontrar assíntotas verticais: o único ponto onde o denominador se anula é x=1. Como o numerador em x=1 vale 1-5=-4\neq0, não há cancelamento e a função tende a \pm\infty ao se aproximar de 1. Portanto x=1 é a única assíntota vertical.

Passo 4

Encontrar assíntotas horizontais: comparamos os graus. O numerador é de grau 1 e o denominador de grau 2, logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-5}{x^{2}-2x+1}=0.
Isso dá a assíntota horizontal y=0.

Resposta

Domínio: (-\infty,1)\cup(1,\infty)
Assíntota vertical: x=1
Assíntota horizontal: y=0

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